Quy tắc tích của logarit

Đặt $u=\log_a x$ và $v=\log_a y$. Theo định nghĩa logarit (là hàm ngược của hàm mũ), điều này có nghĩa chính xác là $a^u=x$ và $a^v=y$.

Nhân hai phương trình này: $xy = a^u \cdot a^v$. Theo quy tắc số mũ $a^{u+v}=a^u\cdot a^v$, vế phải bằng $a^{u+v}$, nên $xy=a^{u+v}$.

Theo định nghĩa logarit một lần nữa, $xy=a^{u+v}$ nghĩa chính xác là $\log_a(xy)=u+v$ — nhưng điều này dùng việc một số mũ tạo ra một đầu ra cho trước là duy nhất, tức $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ khi $a>0,a\ne 1$ (hàm số mũ không bao giờ cho cùng một đầu ra với hai số mũ khác nhau, vì nó tăng ngặt khi $a>1$ hoặc giảm ngặt khi $0<a<1$).

Thay lại $u=\log_a x$ và $v=\log_a y$ cho $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, chính là $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$.