Hàm số và đồ thị

Một hàm số gán đúng một đầu ra cho mỗi đầu vào, nên một đồ thị chạm một đường thẳng đứng cho trước hai lần sẽ gán hai giá trị $y$ khác nhau cho cùng một $x$, phá vỡ quy tắc "đúng một đầu ra".

($\Rightarrow$) Giả sử $C$ là đồ thị của một hàm số $f$, nên mọi điểm của $C$ có dạng $(x_0,f(x_0))$ với đầu vào $x_0$ nào đó. Cố định một đường thẳng đứng $x=x_0$ bất kỳ; điểm duy nhất của $C$ có thể nằm trên đó là điểm có hoành độ $x_0$, và chỉ có một điểm như vậy, $(x_0,f(x_0))$, vì $f$ chỉ gán một giá trị cho $x_0$. Vậy đường thẳng cắt $C$ tại nhiều nhất một điểm.

($\Leftarrow$) Ngược lại, giả sử mọi đường thẳng đứng cắt $C$ tại nhiều nhất một điểm. Định nghĩa $f$ như sau: với mỗi $x_0$ có một điểm của $C$ nằm phía trên nó, đặt $f(x_0)$ là tung độ $y$ của điểm đó (duy nhất, theo giả thiết). Điều này gán nhiều nhất một đầu ra cho mỗi đầu vào, nên $f$ là một hàm số xác định tốt, và theo cách xây dựng, đồ thị của nó chính là $C$.

Hai chiều cùng nhau cho thấy sự tương đương: là đồ thị của một hàm số và vượt qua kiểm tra đường thẳng đứng là cùng một tính chất nhìn từ hai góc độ.

Hệ số góc không đổi giữa mọi cặp điểm chính là định nghĩa hình học của "thẳng" — hướng đi không bao giờ đổi.

Tính độ tăng và độ chạy giữa hai điểm trên đồ thị: độ tăng $=y_2-y_1=(ax_2+b)-(ax_1+b)=a(x_2-x_1)$, dùng việc cả hai điểm đều thỏa cùng quy tắc $y=ax+b$.

Vì $x_1\ne x_2$, ta có thể chia cả hai vế cho độ chạy $x_2-x_1\ne 0$: $$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a.$$

Phép tính này chỉ dùng các giá trị $x_1,x_2$ và quy tắc $y=ax+b$, và số hạng $b$ triệt tiêu hoàn toàn — nên tỷ số bằng $a$ bất kể hai điểm $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ nào được chọn. Một đường cong mà hệ số góc giữa mọi cặp điểm là cùng một số cố định, theo định nghĩa hình học của tính thẳng, là một đường thẳng; do đó đồ thị của $y=ax+b$ là một đường thẳng có hệ số góc $a$.

Ngược lại, cho một đường thẳng không đứng bất kỳ với hệ số góc $a$ đi qua điểm $(x_0,y_0)$, đặt $b=y_0-ax_0$ tạo ra một hàm số bậc nhất $y=ax+b$ mà đồ thị chính là đường thẳng đó, thiết lập chiều ngược lại của sự tương ứng giữa hàm số bậc nhất và đường thẳng không đứng.