Lượng giác

Điểm $(\cos\theta, \sin\theta)$ nằm trên đường tròn đơn vị $x^2+y^2=1$ theo định nghĩa — và phương trình đó chính là định lý Pythagoras áp dụng cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $|\cos\theta|$, $|\sin\theta|$ và cạnh huyền $1$. Đẳng thức duy nhất này là nguồn gốc của gần như mọi hằng đẳng thức lượng giác khác.

Gọi $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ là điểm trên đường tròn lượng giác thu được khi quay $(1,0)$ ngược chiều kim đồng hồ một góc $\theta$. Hạ đường thẳng đứng từ $P$ xuống trục hoành tại $Q = (\cos\theta, 0)$. Đoạn $OP$ là bán kính của đường tròn lượng giác, nên $|OP|=1$.

Trong tam giác vuông $\triangle OPQ$, cạnh ngang $OQ$ có độ dài $|\cos\theta|$ và cạnh đứng $QP$ có độ dài $|\sin\theta|$. Theo định lý Pythagoras cổ điển, $|OQ|^2+|QP|^2=|OP|^2$, ta được $|\cos\theta|^2+|\sin\theta|^2=1^2$, giản lược thành $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ với mọi số thực $\theta$.

Đặt tam giác vào một đường tròn bán kính $R$ đi qua cả ba đỉnh. Định lý góc nội tiếp cho biết góc $A$ chắn cạnh $a$ bằng nửa góc ở tâm chắn cạnh $a$, từ đó suy ra trực tiếp $a = 2R\sin A$ — lập luận tương tự cho mỗi cạnh cho ra cùng một tỉ số $2R$.

Nội tiếp $\triangle ABC$ vào đường tròn ngoại tiếp bán kính $R$, tâm $O$. Vẽ đường kính $BD$ qua đỉnh $B$ sao cho $|BD|=2R$, rồi nối $D$ với $C$. Theo định lý Thales, vì $BD$ là đường kính nên góc nội tiếp $\angle BCD=90°$.

Khi góc $A$ nhọn, $\angle A$ và $\angle BDC$ cùng chắn cung $BC$ ở cùng phía, nên $\angle BDC=A$. Trong tam giác vuông $\triangle BCD$ ta có $\sin A=\sin(\angle BDC)=\dfrac{|BC|}{|BD|}=\dfrac{a}{2R}$, suy ra $\dfrac{a}{\sin A}=2R$. Khi $A$ tù, $\angle BDC=180°-A$ và $\sin(180°-A)=\sin A$, cho cùng kết quả. Lặp lại với cạnh $b$ và $c$ ta được $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$.

Đây chính xác là định lý Pythagoras cộng thêm một số hạng hiệu chỉnh: đặt góc $C$ tại gốc tọa độ với một cạnh nằm trên trục hoành, khi đó đỉnh đối diện có tọa độ $(a\cos C, a\sin C)$; công thức khoảng cách tới điểm $(b,0)$ khai triển ra $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. Khi $C=90°$, $\cos C = 0$ và công thức trở về $a^2+b^2=c^2$ — định lý cosin chính là định lý Pythagoras cho những tam giác không vuông.

Đặt đỉnh $C$ tại gốc tọa độ $(0,0)$ và sắp xếp cạnh $CB$ có độ dài $a$ dọc theo trục hoành dương, nên $B=(a,0)$. Vì $CA$ có độ dài $b$ và tạo với trục hoành một góc $C$, tọa độ của $A$ là $A=(b\cos C, b\sin C)$.

Độ dài $c$ của cạnh $AB$ bằng khoảng cách Euclid giữa $A$ và $B$. Bình phương và khai triển: $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2 = b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C = a^2 + b^2(\cos^2 C+\sin^2 C) - 2ab\cos C$. Áp dụng đẳng thức Pythagoras $\cos^2 C+\sin^2 C=1$ cho kết quả $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.

Cả hai vế đều là nghiệm của cùng một phương trình vi phân $f'(\theta) = i f(\theta)$ với $f(0)=1$ (kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm vế phải, dùng $\frac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta$, $\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta$), nên theo tính duy nhất nghiệm, chúng phải bằng nhau. Thay $\theta=\pi$ cho trường hợp đặc biệt nổi tiếng $e^{i\pi}+1=0$, nối liền năm hằng số cơ bản trong một phương trình duy nhất.

Định nghĩa $g(\theta) = e^{-i\theta}(\cos\theta + i\sin\theta)$ với mọi số thực $\theta$. Lấy đạo hàm theo quy tắc tích ta được $g'(\theta) = -i e^{-i\theta}(\cos\theta+i\sin\theta) + e^{-i\theta}(-\sin\theta+i\cos\theta)$.

Khai triển số hạng đầu dùng $i^2=-1$: $-i(\cos\theta+i\sin\theta) = -i\cos\theta-i^2\sin\theta = \sin\theta-i\cos\theta$. Cộng với $(-\sin\theta+i\cos\theta)$ được $0$, nên $g'(\theta)=0$ với mọi $\theta\in\mathbb{R}$. Do đó $g$ là hằng số và $g(\theta)=g(0)=e^{0}(\cos 0+i\sin 0)=1$, suy ra $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.