Hệ thức lượng trong tam giác

Đặt tam giác trong hệ tọa độ với góc đã biết tại gốc tọa độ biến cạnh chưa biết thành công thức khoảng cách, và khai triển công thức khoảng cách đó tự động sinh ra số hạng cosin thêm vào ngoài tổng kiểu Pythagoras.

Đặt đỉnh $C$ tại gốc tọa độ, đỉnh $A$ tại $(b, 0)$ theo trục $x$ dương (vì $CA = b$), và đỉnh $B$ tại $(a\cos C, a\sin C)$ — đây là điểm cách $C$ một khoảng $a$ (vì $CB = a$) tạo với đoạn $CA$ một góc $C$.

Cạnh $c = AB$ là khoảng cách giữa $A=(b,0)$ và $B=(a\cos C, a\sin C)$, nên $c^2 = (b - a\cos C)^2 + (a\sin C)^2$.

Khai triển bình phương: $c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$.

Vì $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, hai số hạng cuối gộp lại thành $a^2$, còn lại $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, chính là $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Lặp lại lập luận tương tự với đỉnh khác đặt tại gốc tọa độ cho các công thức tương tự với $a^2$ và $b^2$.

Mọi góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau, nên thay một góc bằng góc bằng nó tại một điểm được chọn khéo léo sẽ biến tam giác thành một tam giác vuông bên trong đường tròn, nơi sin chỉ đơn giản là tỉ số giữa một dây cung và đường kính.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và vẽ đường kính qua $B$, cắt đường tròn lần nữa tại điểm $B'$. Vì $BB'$ là đường kính, góc nội tiếp $\angle BCB'$ chắn nửa đường tròn, nên $\angle BCB' = 90°$.

Các góc nội tiếp $\angle BAC$ và $\angle BB'C$ đều chắn cùng cung $BC$ (hoặc bù nhau nếu $A$ và $B'$ nằm trên hai cung đối nhau, khi đó sin của hai góc vẫn bằng nhau vì $\sin(180°-x)=\sin x$), nên $\angle BB'C = A$ hoặc góc bù của nó, và trong cả hai trường hợp $\sin(\angle BB'C) = \sin A$.

Trong tam giác vuông $BCB'$ (vuông tại $C$), cạnh $BC = a$ đối diện $\angle BB'C$, và cạnh huyền $BB' = 2R$ là đường kính, nên $\sin(\angle BB'C) = \dfrac{a}{2R}$.

Kết hợp hai bước cuối, $\sin A = \dfrac{a}{2R}$, tức $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$. Lặp lại cùng cách dựng với đường kính qua $A$ hoặc qua $C$ cho $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$ và $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$, nên cả ba tỉ số đều bằng $2R$, chứng minh $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.