Định lýĐã chứng minh

Định lý cosin

Phát biểu

Trong mọi tam giác có độ dài ba cạnh $a$ , $b$ , $c$ và góc trong $\gamma$ đối diện với cạnh có độ dài $c$ , ta có $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ .

Vì sao đúng?

Định lý cosin chính là định lý Pythagoras kèm thêm số hạng hiệu chỉnh $-2ab\cos\gamma$ để bù cho độ lệch của góc $\gamma$ so với góc vuông. Khi $\gamma = 90^\circ$ , $\cos\gamma = 0$ và công thức thu gọn về $c^2 = a^2 + b^2$ ; mở rộng $\gamma$ thành góc tù làm $\cos\gamma < 0$ khiến $c^2$ lớn hơn $a^2 + b^2$ , còn khép $\gamma$ thành góc nhọn làm $\cos\gamma > 0$ và kéo cạnh đối diện $c$ ngắn lại.

Phác thảo chứng minh

Hạ đường cao $h$ từ đỉnh đối diện cạnh $b$ xuống đường thẳng chứa cạnh $b$ . Theo góc $\gamma$ , đường cao này có độ dài $h = a\sin\gamma$ và cắt đường thẳng chứa cạnh $b$ tại điểm cách đỉnh góc $\gamma$ một khoảng đại số $a\cos\gamma$ , để lại đoạn thẳng có độ dài $|b - a\cos\gamma|$ tới đầu mút kia. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $h$ , $|b - a\cos\gamma|$ và cạnh huyền $c$ cho ta $c^2 = (a\sin\gamma)^2 + (b - a\cos\gamma)^2 = a^2(\sin^2\gamma + \cos^2\gamma) + b^2 - 2ab\cos\gamma = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ .

Người chứng minh

chứng minh năm -300Euclid xứ Alexandria

Chủ đề chứa định lý này

Hệ thức lượng trong tam giác Lượng giác

Định lý liên quan

Định lý Pythagoras Định lý sin Công thức Heron

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Euclid (translated by Thomas L. Heath) (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Vol. 1 (Book II, Propositions 12–13)
Glen Van Brummelen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry