Định lýĐã chứng minh

Định lý sin

Phát biểu

Trong mọi tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $a$ , $b$ , $c$ đối diện với các góc trong $A$ , $B$ , $C$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ , ta có $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ .

Vì sao đúng?

Nội tiếp tam giác $ABC$ trong đường tròn ngoại tiếp có đường kính $2R$ . Mỗi cạnh, chẳng hạn $a = BC$ , là một dây cung của đường tròn đó căng góc nội tiếp $A$ . Khi dịch chuyển đỉnh $A$ dọc theo đường tròn tới đầu mút của một đường kính, tam giác trở thành tam giác vuông có cạnh huyền là đường kính $2R$ , cho thấy ngay độ dài dây cung $a$ bằng $2R\sin A$ — và vì cả ba cạnh đều nằm trong cùng một đường tròn đường kính $2R$ nên tỉ số $\dfrac{a}{\sin A}$ phải bằng $2R$ cho mỗi cạnh.

Phác thảo chứng minh

Vẽ đường tròn ngoại tiếp của $\triangle ABC$ với bán kính $R$ , và kẻ đường kính $BD$ , khi đó $BD = 2R$ và $\angle BCD = 90^\circ$ . Khi $A$ nhọn, hai góc nội tiếp $\angle A$ và $\angle BDC$ cùng chắn cung $BC$ nên bằng nhau; do đó trong tam giác vuông $\triangle BDC$ ta có $\sin A = \sin(\angle BDC) = \dfrac{a}{2R}$ , hay $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ (nếu $A$ tù thì $\angle BDC = 180^\circ - A$ có cùng giá trị sin). Lặp lại cho $b$ và $c$ ta được $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ .

Chủ đề chứa định lý này

Hệ thức lượng trong tam giác Lượng giác

Định lý liên quan

Định lý cosin Định lý góc nội tiếp Định lý Ptolemy

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Glen Van Brummelen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited