Phương trình Navier-Stokes

Dù số hạng phi tuyến khiến phương trình quá khó để giải chính xác, độ nhớt vẫn liên tục tiêu hao động năng; chỉ một sự kiện định lượng đơn giản đó đã đủ để xây dựng một nghiệm xấp xỉ và chuyển qua giới hạn, ngay cả khi chưa biết giới hạn đó có duy nhất hay trơn hay không.

Xấp xỉ phương trình bằng phép chiếu Galerkin: chọn các hàm riêng của toán tử Stokes làm cơ sở, chiếu phương trình lên không gian sinh bởi $n$ hàm đầu tiên, rồi giải hệ phương trình vi phân thường hữu hạn chiều thu được để có nghiệm xấp xỉ $u_n$; lý thuyết phương trình vi phân thường chuẩn cho nghiệm tồn tại trên một khoảng thời gian ngắn.

Nhân phương trình Galerkin với chính $u_n$. Các số hạng phi tuyến và áp suất triệt tiêu (chúng trực giao với $u_n$ khi dùng ràng buộc không phân kỳ), để lại đẳng thức năng lượng $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|u_n\|_{L^2}^{2}+\nu\|\nabla u_n\|_{L^2}^{2}=0$. Lấy tích phân theo thời gian cho thấy $u_n$ bị chặn đều trong $L^{\infty}(L^2)\cap L^2(H^1)$ theo $n$, và đặc biệt nghiệm thời gian ngắn mở rộng được ra toàn bộ thời gian.

Các chặn đều này cho phép trích ra một dãy con của $u_n$ hội tụ yếu-* trong $L^{\infty}(L^2)$ và hội tụ yếu trong $L^2(H^1)$ về một giới hạn $u$. Bổ đề compact Aubin–Lions nâng điều này thành hội tụ mạnh trong $L^2$ trên các miền thời gian-không gian bị chặn, đúng thứ cần để chuyển qua giới hạn ở số hạng phi tuyến bậc hai $(u_n\cdot\nabla)u_n\to(u\cdot\nabla)u$.

Chuyển qua giới hạn trong dạng yếu của các phương trình Galerkin cho thấy $u$ thoả mãn phương trình Navier-Stokes theo nghĩa phân phối, và tính nửa liên tục dưới yếu của chuẩn khi qua giới hạn giữ nguyên bất đẳng thức năng lượng. $u$ này chính là nghiệm yếu toàn cục của Leray; việc nó có duy nhất và trơn hay không chính là câu hỏi thiên niên kỷ còn mở.

Độ xoáy trong 3 chiều tuân theo $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=(\omega\cdot\nabla)u+\nu\Delta\omega$, và số hạng $(\omega\cdot\nabla)u$ có thể khuếch đại độ xoáy qua sự kéo dãn. Trong 2 chiều, độ xoáy là một vô hướng vuông góc với mặt phẳng chuyển động, nên số hạng kéo dãn đó triệt tiêu đồng nhất, chỉ còn lại vận chuyển và khuếch tán — không còn gì để khuếch đại nó không giới hạn.

Viết độ xoáy (một vô hướng trong 2 chiều) là $\omega=\partial_x u_2-\partial_y u_1$ và thay phương trình động lượng vào $\partial_t\omega+u\cdot\nabla\omega$. Vì $u$ không phân kỳ và hai chiều, tính toán trực tiếp cho thấy mọi số hạng từ $(u\cdot\nabla)u$ có thể kéo dãn $\omega$ đều triệt tiêu, chỉ còn phương trình vận chuyển-khuếch tán $\omega_t+u\cdot\nabla\omega=\nu\Delta\omega$ không có số hạng nguồn.

Một phương trình vận chuyển-khuếch tán không có nguồn tuân theo nguyên lý cực đại: dọc theo quỹ đạo $\dot X(t)=u(X(t),t)$ của một hạt chất lỏng, $\frac{d}{dt}\omega(X(t),t)=\nu\Delta\omega(X(t),t)$, và khuếch tán không thể làm tăng giá trị cực đại hay giảm giá trị cực tiểu. Do đó $\|\omega(\cdot,t)\|_{L^\infty}\le\|\omega_0\|_{L^\infty}$ với mọi $t\ge0$: độ xoáy không bao giờ bùng nổ.

Khi độ xoáy bị chặn đều theo thời gian, tính chính quy elliptic áp dụng cho hàm dòng (khôi phục $u$ từ $\omega$) chặn mọi đạo hàm không gian của $u$ theo $\|\omega\|_{L^\infty}$, nên $u$ vẫn nằm trong mọi không gian Sobolev nó bắt đầu.

Lặp lại lập luận này — độ xoáy bị chặn cho gradient vận tốc bị chặn, điều này kiểm soát các đạo hàm cao hơn qua chính phương trình — cho thấy nghiệm vẫn trơn với mọi $t>0$, không thể bùng nổ trong thời gian hữu hạn; đây chính là điều chưa biết được trong ba chiều, nơi số hạng kéo dãn xoáy $(\omega\cdot\nabla)u$ xuất hiện.