Lời giải: Chứng minh bất khả thi bằng đại số của Wantzel qua mở rộng trường (1837)

Chia ba một góc $\theta$ tùy ý bằng thước kẻ và compa nghĩa là dựng được góc $\theta/3$ xuất phát từ $\theta$, chỉ dùng hai công cụ cổ điển đó. Bài báo năm 1837 của Wantzel, công bố trên Journal de mathématiques pures et appliquées của Liouville, giải quyết câu hỏi này cùng với bài toán gấp đôi khối lập phương bằng cách quy cả hai về đại số: một số thực dựng được chính xác khi nó có thể đạt tới từ $\mathbb{Q}$ bằng một dãy hữu hạn các phép lấy căn bậc hai (Wantzel 1837, §I).

Kế hoạch được thực hiện ở các bước còn lại là: (1) chỉ ra mọi độ dài dựng được đều có bậc là lũy thừa của $2$ trên $\mathbb{Q}$; (2) quy việc chia ba góc $60^\circ$ về giải một phương trình bậc ba cho $x=2\cos 20^\circ$; (3) chỉ ra phương trình bậc ba đó bất khả quy trên $\mathbb{Q}$, nên nghiệm của nó có bậc $3$; (4) vì $3$ không phải là lũy thừa của $2$, $\cos 20^\circ$ không dựng được, nên góc $60^\circ$ không thể chia ba.

Vì chỉ cần một phản ví dụ để bác bỏ một phương pháp tổng quát, riêng góc này đã đủ chứng minh không có quy trình chia ba góc nào bằng thước kẻ và compa hoạt động cho mọi góc, dù một số góc đặc biệt (như $90^\circ$) vẫn chia ba được.