Lời giải: Chứng minh bất khả thi bằng đại số của Wantzel qua mở rộng trường (1837)

Chia ba một góc cho trước $\theta$ bằng thước kẻ và compa nghĩa là tạo ra góc $\theta/3$ từ góc đã cho qua một dãy hữu hạn các nước đi Euclid hợp lệ. Để 'nước đi hợp lệ' kiểm tra được, Wantzel đưa toàn bộ câu hỏi về số học: trong hệ tọa độ, dựng một góc tương đương dựng cosin của nó (hạ đường vuông góc xuống đường tròn đơn vị khôi phục $\theta$ từ $\cos\theta$, và ngược lại), nên chia ba $\theta$ khả thi đúng khi $\cos(\theta/3)$ là một số thực dựng được.

Chọn $\theta = 60^\circ$ là phản ví dụ tiết kiệm: $\cos 60^\circ = 1/2$ dựng được, nên bản thân $60^\circ$ vẽ được — và khi đó chỉ cần chứng tỏ $20^\circ$, tương đương $x = 2\cos 20^\circ$, không dựng được. Một trường hợp không dựng được đủ để giết khẳng định tổng quát, vì mọi thủ tục chia ba phổ quát được tuyên bố đều phải hoạt động trên riêng góc này.

Bản báo cáo 1837 của Wantzel trên tập san của Liouville triển khai kế hoạch qua ba nước đi đại số: (1) mỗi bước thước kẻ–compa mở rộng trường các tọa độ khả dụng nhiều nhất một mở rộng bậc hai, nên các số dựng được có bậc là lũy thừa của $2$ trên $\mathbb{Q}$ (Bước 1–2); (2) công thức góc ba lần biến $\cos 20^\circ$ thành một nghiệm của bậc ba $x^3 - 3x - 1 = 0$ (Bước 3); (3) bậc ba đó bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ (Bước 4), cho bậc $3$ — không phải lũy thừa của $2$ (Bước 5).