解法：旺泽尔利用域扩张给出的代数不可能性证明(1837年)

用尺规三等分任意角 $\theta$ 意味着仅用这两种经典工具从 $\theta$ 作出角 $\theta/3$。旺泽尔1837年发表于刘维尔《纯粹与应用数学杂志》的论文,通过把两个问题都归结为代数,连同倍立方问题一起解决了这个问题:一个实数可作图,当且仅当它能通过有限次开平方从 $\mathbb{Q}$ 出发到达(Wantzel 1837, §I)。

在接下来的步骤中执行的计划是:(1) 证明每个可作图长度在 $\mathbb{Q}$ 上的次数都是 $2$ 的幂;(2) 把三等分 $60^\circ$ 归结为求解关于 $x=2\cos 20^\circ$ 的三次方程;(3) 证明该三次方程在 $\mathbb{Q}$ 上不可约,从而其根的次数为 $3$;(4) 由于 $3$ 不是 $2$ 的幂,$\cos 20^\circ$ 不可作图,故 $60^\circ$ 不能被三等分。

由于一个反例就足以推翻一般性方法,单单这一个角就已经证明了不存在对所有角都适用的尺规三等分程序,尽管某些特殊角(如 $90^\circ$)仍然可以被三等分。