解法: 体の拡大によるヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

体の拡大に対する次数公式(塔の法則)により、次数は掛け合わされる:$[F_k:\mathbb{Q}] = \prod_{i=1}^{k} [F_i:F_{i-1}]$。ステップ2で各因子が $1$ または $2$ であることを示したので、この積はある整数 $k\ge 0$ に対して $2^k$ に等しい——何回作図ステップを使ったかに関わらず $2$ の冪である。

実数 $\alpha$ が作図可能であるとすると、あるそのような塔について $\alpha \in F_k$ であり、したがって $\mathbb{Q}(\alpha)\subseteq F_k$ となる。$\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\alpha)\subset F_k$ に対して再び塔の法則を適用すると $[F_k:\mathbb{Q}] = [F_k:\mathbb{Q}(\alpha)]\cdot[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ となるので、$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ は $2^k$ を割り切る。$2$ の冪の約数は $2$ の冪しかないので、ある整数 $m\ge 0$ に対して $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 2^m$ となる(Wantzel 1837, §I)。

これはヴァンツェルによる作図可能性の必要条件であり、十分性については何も述べていない:例えばガロア群が $S_4$ である既約な次数 $4$ の多項式は、次数 $4=2^2$ の根を持つが、それでも作図不可能である。この条件が実際に与えるのは鋭い障害である——$\mathbb{Q}$ 上の方程式の次数が $2$ の冪でなければ、その根は確実に作図不可能であり、これこそが次のステップで $60^\circ$ に適用される道具である。