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解法：旺泽尔利用域扩张给出的代数不可能性证明(1837年)

第 6/7 步：结论:33 不是 22 的幂,故 60∘60^\circ 不能被三等分
上一步下一步
通俗地说

现在两条线索汇合了。第3步说,任何可作图数的次数都必须落在清单 1,2,4,8,16,…1, 2, 4, 8, 16,\ldots 上。第5步说,我们真正需要的那个数,次数是 33。但 33 根本不在那份清单上——无论翻倍多少次,都不可能恰好得到 33。

这个冲突就是整个证明的核心:它意味着三等分 60∘60^\circ 所需要的那个特定的点,永远不可能用尺规到达,仅此而已。

[Q(2cos⁡20∘):Q]=3≠2m  ⟹  60∘ cannot be trisected[\mathbb{Q}(2\cos20^\circ):\mathbb{Q}]=3 \ne 2^m \implies 60^\circ \text{ cannot be trisected}
详细分析

第3步证明了每个可作图实数在 Q\mathbb{Q} 上的次数都是 2m2^m(对某个整数 m≥0m\ge0),也就是说其次数必须是 1,2,4,8,16,…1, 2, 4, 8, 16,\ldots 之一。第5步算出 [Q(2cos⁡20∘):Q]=3[\mathbb{Q}(2\cos20^\circ):\mathbb{Q}] = 3,而 33 永远不会出现在那份清单中——它是大于 11 的奇数,不可能等于 22 的任何幂。

因此 2cos⁡20∘2\cos 20^\circ 不可作图,从而 cos⁡20∘\cos 20^\circ 不可作图,从而角 20∘20^\circ 不可能仅用尺规从 60∘60^\circ 角(以及单位长度)作出。由于三等分 60∘60^\circ 恰好会产生 20∘20^\circ,所以没有任何尺规作图能三等分 60∘60^\circ(Wantzel 1837, §II)。

仅凭这一个反例,就推翻了任何声称能三等分一切角的通用方法:若这样的方法真的存在,把它用在 60∘60^\circ 上就会与刚刚证明的结论矛盾。自古以来悬而未决的经典三等分问题,就这样被彻底解决了——不是靠找到一种巧妙的新作图法,而是靠确定无疑地证明了这样的作图法根本不可能存在。