Lời giải: Chứng minh bất khả thi bằng đại số của Wantzel qua mở rộng trường (1837)

Tiêu chuẩn của Wantzel chỉ nói riêng về các phép dựng bằng thước kẻ và compa theo nghĩa Euclid cổ điển: một thước không có vạch chỉ dùng để kẻ đường thẳng qua hai điểm đã dựng, và một compa chỉ dùng để vẽ đường tròn qua một điểm đã dựng với tâm tại một điểm khác. Nới lỏng bất kỳ công cụ nào cũng làm thay đổi câu trả lời. Archimedes (thế kỷ 3 TCN) đã từng chỉ ra một phép chia ba dùng neusis — một thước có đánh dấu được trượt cho tới khi hai độ dài cho trước đồng thời khớp với hai đường cong cho trước — điều này về bản chất giải trực tiếp phương trình bậc ba và do đó bỏ qua hoàn toàn ràng buộc bậc $2^m$.

Trong cùng bài báo năm 1837, Wantzel dùng một chiến lược giống hệt (quy về phương trình bậc ba, chỉ ra nó bất khả quy, nhận xét $3\neq2^m$) để chứng minh rằng việc gấp đôi khối lập phương — dựng $\sqrt[3]{2}$ — cũng bất khả thi, và ông còn hoàn thiện định lý của Gauss về những đa giác đều nào dựng được. Charles Sturm dường như tìm ra những chứng minh cải tiến ngay sau đó nhưng chưa từng công bố (Maths History, tiểu sử Wantzel).

Về mặt lịch sử, kết quả năm 1837 này nằm trong số những ứng dụng sớm nhất của lập luận bậc mở rộng trường để chứng minh một bất khả thi hình học, đi trước những ý tưởng mà Évariste Galois đã phát triển vài năm trước đó và sẽ sớm kết tinh thành lý thuyết Galois. Nó biến ba trong số các bài toán mở nổi tiếng nhất thời cổ đại thành những sự thật đã được chứng minh dứt điểm — dù cầu phương hình tròn vẫn cần chứng minh siêu việt của $\pi$ do Lindemann công bố 45 năm sau, vào năm 1882.