Lời giải: Gödel và Cohen: giả thuyết continuum độc lập với ZFC (1963)

Cantor đề xuất giả thuyết continuum ($\mathrm{CH}$) năm 1878: mọi tập con vô hạn của $\mathbb{R}$ có lực lượng hoặc là $\aleph_0$ (đếm được) hoặc là $2^{\aleph_0}$ (lực lượng của continuum), không có lực lượng nào nằm nghiêm ngặt ở giữa. Tương đương, vì định lý Cantor luôn cho $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$ (trong đó $\aleph_1$ là lực lượng không đếm được nhỏ nhất), $\mathrm{CH}$ phát biểu chính xác rằng $2^{\aleph_0} = \aleph_1$.

Hilbert đưa bài toán này lên vị trí đầu tiên trong 23 bài toán năm 1900, kỳ vọng nó sẽ sớm được giải quyết theo cách này hay cách khác bằng chứng minh toán học thông thường, theo phong cách lập luận đường chéo của chính Cantor. Bài viết của Peter Koellner trên Stanford Encyclopedia of Philosophy về Giả thuyết continuum khảo sát lịch sử này và cách hiểu hiện đại về những gì xảy ra sau đó.

Những gì xảy ra sau đó, trong sáu thập kỷ tiếp theo, hóa ra đã lật đổ chính kỳ vọng rằng $\mathrm{CH}$ có thể được chứng minh hay bác bỏ bằng phương tiện thông thường: bước tiếp theo giải thích chính xác việc một mệnh đề toán học không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ từ các tiên đề được chấp nhận của lý thuyết tập hợp nghĩa là gì.