解法：哥德尔与科恩:连续统假设独立于ZFC(1963年)

第 1/9 步：连续统假设:不存在严格介于

\aleph_0

与

2^{\aleph_0}

之间的基数

上一步下一步

通俗地说

自然数 $\mathbb{N}$ 构成最小的无限基数,记作 $\aleph_0$ ;康托的对角线论证(1891年)表明实数 $\mathbb{R}$ 构成一个严格更大的无穷,其基数记作 $2^{\aleph_0}$ 。人们自然会问,是否存在某个严格介于两者之间的中间基数,就像 $2$ 介于 $1$ 与 $3$ 之间那样。

康托在1878年猜想答案是否定的: $\mathbb{R}$ 的每个无限子集要么与 $\mathbb{N}$ 同基数,要么与 $\mathbb{R}$ 本身同基数,二者之间没有别的。这一断言就是连续统假设( $\mathrm{CH}$ ),等价地写作 $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ ,其中 $\aleph_1$ 表示紧接在 $\aleph_0$ 之后的无限基数。

2^{\aleph_0} = \aleph_1

详细分析

康托于1878年提出连续统假设( $\mathrm{CH}$ ): $\mathbb{R}$ 的每个无限子集的基数要么是 $\aleph_0$ (可数),要么是 $2^{\aleph_0}$ (连续统的基数),两者之间不存在严格居中的基数。等价地,由于康托定理总给出 $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$ (其中 $\aleph_1$ 是最小不可数基数), $\mathrm{CH}$ 恰好断言 $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ 。

希尔伯特在1900年将其列为23个问题中的第一个,期待它很快会以康托自己对角线论证那样的普通数学证明方式得到解决。Peter Koellner 在斯坦福哲学百科全书“连续统假设”词条中综述了这段历史以及后续发展的现代理解。

接下来六十年发生的事,却颠覆了 $\mathrm{CH}$ 能够以普通方式被证明或反驳这一期望本身:下一步将精确解释一个数学命题从集合论公认公理中既不可证明也不可反驳究竟意味着什么。

本步骤中的术语

基数: 基数用来衡量集合的大小;两个集合具有相同基数当且仅当它们之间存在一一对应。 $\aleph_0$ 是 $\mathbb{N}$ 的基数; $\aleph_1$ 是大于 $\aleph_0$ 的最小基数。
连续统 $2^{\aleph_0}$: $\mathbb{N}$ 的所有子集组成的集合的基数,记作 $2^{\aleph_0}$ ,这与用 $2^n$ 计数大小为 $n$ 的有限集合的子集个数是类比的。由于实数可以编码为无限二进制序列,这个基数等于 $\mathbb{R}$ 的基数。

本步骤用到的知识

ZFC公理系统序数与基数