Lời giải: Gödel và Cohen: giả thuyết continuum độc lập với ZFC (1963)

Georg Cantor đặt nền móng cho lý thuyết tập hợp siêu hạn bằng cách chỉ ra năm 1874 rằng tập các số thực $\mathbb{R}$ là không đếm được, và năm 1891 (qua lập luận đường chéo) rằng với mọi tập hợp $X$, tập lũy thừa $\mathcal{P}(X)$ có lực lượng lớn hơn nghiêm ngặt $X$: $|X| < |\mathcal{P}(X)|$. Áp dụng điều này cho tập các số tự nhiên đếm được $\mathbb{N}$ có lực lượng $\aleph_0$ cho $\aleph_0 < |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$. Các số tự nhiên đại diện cho lực lượng vô hạn nhỏ nhất; các số thực tạo thành một lực lượng lớn hơn nghiêm ngặt.

Năm 1878, Cantor đưa ra Giả thuyết Continuum ($\mathrm{CH}$): không có lực lượng trung gian nào nằm nghiêm ngặt giữa $\aleph_0$ và $2^{\aleph_0}$. Mọi tập con vô hạn của $\mathbb{R}$ hoặc song ánh với $\mathbb{N}$ (đếm được) hoặc song ánh với chính $\mathbb{R}$. Trong thang aleph của các lực lượng sắp thứ tự tốt $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$, trong đó $\aleph_1$ theo định nghĩa là lực lượng không đếm được nhỏ nhất, định lý Cantor kéo theo $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$. Giả thuyết Continuum vì vậy là khẳng định về sự bằng nhau chính xác: $2^{\aleph_0} = \aleph_1$.

David Hilbert xếp Giả thuyết Continuum ở vị trí số một trong số 23 bài toán nổi tiếng của ông tại Đại hội Toán học Quốc tế năm 1900 ở Paris, bày tỏ sự tin tưởng tuyệt đối rằng nó sẽ được giải quyết bằng các phương pháp của toán học thông thường. Tuy nhiên, trong sáu thập kỷ tiếp theo, mọi nỗ lực chứng minh hoặc bác bỏ $\mathrm{CH}$ đều vấp phải một rào cản chưa từng có: giả thuyết hóa ra không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ từ các tiên đề chuẩn của toán học. Bước tiếp theo định nghĩa chính xác điều đó có nghĩa là gì.