Số thứ tự và bản số

Điều này cho phép chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số thứ tự — hữu hạn, $\omega$, và xa hơn — chỉ bằng cách xử lý "giả sử đúng với mọi thứ nhỏ hơn", không cần tách riêng trường hợp cơ sở hay trường hợp giới hạn trong chính phát biểu nguyên lý.

Giả sử phản chứng $C$ không chứa mọi số thứ tự. Khi đó lớp $D$ gồm các số thứ tự không thuộc $C$ là khác rỗng. Bản thân các số thứ tự lập thành một sắp tốt (mọi lớp khác rỗng gồm các số thứ tự đều có phần tử nhỏ nhất — đây chính là tính chất định nghĩa của số thứ tự), nên $D$ có phần tử nhỏ nhất; gọi nó là $\alpha$.

Do tính nhỏ nhất của $\alpha$, mọi số thứ tự $\beta<\alpha$ đều không thuộc $D$, tức mọi $\beta<\alpha$ thỏa $\beta \in C$.

Nhưng đây chính là giả thiết của định lý áp dụng cho $\alpha$: "$\beta \in C$ với mọi $\beta<\alpha$" kéo theo $\alpha \in C$. Vậy $\alpha \in C$.

Điều này mâu thuẫn với $\alpha \in D$ (tức $\alpha \notin C$). Mâu thuẫn này cho thấy không tồn tại số $\alpha$ phản ví dụ nhỏ nhất như vậy, nên $D=\emptyset$: $C$ chứa mọi số thứ tự. $\blacksquare$

Dù không thể biết chính xác giá trị $2^{\aleph_0}$ chỉ từ ZFC (kết quả độc lập của Cohen), định lý này là một trong số ít điều ta CÓ THỂ chứng minh chắc chắn về nó: dù nó bằng gì đi nữa, ta không thể tiệm cận nó từ dưới lên bằng một dãy $\omega$ các bản số thật sự nhỏ hơn.

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức König tổng quát: nếu $\kappa_i < \lambda_i$ với mọi $i$ trong tập chỉ số $I$, thì $\sum_{i\in I}\kappa_i < \prod_{i\in I}\lambda_i$. Cố định các tập $B_i$ với $|B_i|=\lambda_i$ và tập con $A_i \subsetneq B_i$ với $|A_i|=\kappa_i$. Bất đẳng thức $\sum_i \kappa_i \le \prod_i \lambda_i$ là hiển nhiên (gửi mỗi $a\in A_i$ tới bộ có tọa độ $i$ là $a$ và các tọa độ khác là giá trị mặc định cố định), nên nội dung chính là chứng minh chúng không bằng nhau.

Giả sử phản chứng có hàm $h : \bigsqcup_{i\in I} A_i \to \prod_{i\in I} B_i$ là toàn ánh. Với mỗi $i$, đặt $h_i:A_i\to B_i$, $a \mapsto h(a)(i)$ (tọa độ thứ $i$ của $h(a)$). Vì $|A_i|=\kappa_i<\lambda_i=|B_i|$, ánh xạ $h_i$ không thể là toàn ánh lên $B_i$ (nếu là toàn ánh, chọn một nghịch ảnh cho mỗi phần tử của $B_i$ sẽ cho một đơn ánh từ $B_i$ vào $A_i$, buộc $\lambda_i\le\kappa_i$ — mâu thuẫn). Vậy chọn $d_i \in B_i \setminus \operatorname{ran}(h_i)$ với mỗi $i$, và đặt $g \in \prod_i B_i$ là bộ với $g(i)=d_i$.

Vì $h$ toàn ánh, $g=h(a)$ với một $a$ nào đó, giả sử $a \in A_j$. Khi đó $g(j)=h(a)(j)=h_j(a) \in \operatorname{ran}(h_j)$. Nhưng $g(j)=d_j \notin \operatorname{ran}(h_j)$ theo cách xây dựng — mâu thuẫn trực tiếp. Vậy không tồn tại toàn ánh $h$, cho ta $\sum_i\kappa_i < \prod_i\lambda_i$. (Lấy $I=X$, $\kappa_i=1$, $\lambda_i=2$ ta thu lại đúng lập luận đường chéo cổ điển của Cantor $|X|<2^{|X|}$ như một trường hợp riêng.)

Bây giờ giả sử phản chứng $\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})=\aleph_0$. Khi đó $2^{\aleph_0}$ là tổng của một dãy $\omega$ tăng ngặt các bản số nhỏ hơn $\kappa_0<\kappa_1<\kappa_2<\cdots$, tức $2^{\aleph_0}=\sum_{n<\omega}\kappa_n$ với mọi $\kappa_n < 2^{\aleph_0}$. Áp dụng bất đẳng thức König với $\lambda_n := 2^{\aleph_0}$ cố định với mọi $n$ (hợp lệ vì $\kappa_n < 2^{\aleph_0} = \lambda_n$ với mọi $n$):

$$2^{\aleph_0} = \sum_{n<\omega}\kappa_n \;<\; \prod_{n<\omega}\lambda_n = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0}.$$

Điều này nói $2^{\aleph_0}<2^{\aleph_0}$, vô lý. Vậy $\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})\neq\aleph_0$; vì đối phần không bao giờ nhỏ hơn mức đó (luôn ít nhất $\aleph_0$ với mọi bản số vô hạn, và không thể hữu hạn), ta kết luận $\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})>\aleph_0$. $\blacksquare$