解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

命題 $\varphi$ が無矛盾な理論 $T$ から独立であるとは、$\varphi$ も $\neg\varphi$ も $T$ の公理から証明できないことをいう。同値に、$T + \varphi$ と $T + \neg\varphi$ の両方がそれ自体無矛盾な理論であることを意味する。したがって独立性を証明するには常に二つの別々の半分、それぞれ相対無矛盾性の結果が必要になる。

半分その一:$\mathrm{ZFC}$ のすべての公理が成り立ち、かつ $\mathrm{CH}$ も成り立つようなモデル(集合の宇宙)を構築し、$\mathrm{ZFC} \nvdash \neg\mathrm{CH}$ を示す。半分その二:$\mathrm{ZFC}$ のすべての公理が成り立つが代わりに $\neg\mathrm{CH}$ が成り立つ別のモデルを構築し、$\mathrm{ZFC} \nvdash \mathrm{CH}$ を示す。どちらか一方だけでは独立性は確定しない——ゲーデルが1940年までに半分その一のみを与えたことは、$\mathrm{CH}$ が依然として $\mathrm{ZFC}$ から証明可能である可能性を残していた。コーエンが1963年に二つ目のモデルを構築して初めて、この隙間は完全に閉じられた。

続く三つのステップでゲーデルの半分(ステップ3〜4)を、さらに続く三つのステップでコーエンの半分(ステップ5〜7)を示し、ステップ8でそれらを合わせて完全な独立性定理とする。