Lời giải: Chứng minh của Ngô qua thớ Hitchin và định lý giá hình học (2008)

Với một phần tử chính quy nửa đơn $\gamma$ trong một nhóm khử được $G$ (hoặc đại số Lie của nó) trên một trường địa phương, tích phân quỹ đạo $O_\gamma(\mathbf{1}_K)$ đo thể tích, theo một nhóm con compact mở $K$, của lớp liên hợp của $\gamma$. Vì $\gamma$ có thể tách thành nhiều lớp liên hợp thông thường bên trong một lớp liên hợp ổn định lớn hơn, các lớp này được đánh chỉ số bởi một nhóm abel hữu hạn $A$, và một đặc trưng $\kappa$ của $A$ chọn ra một tích phân quỹ đạo trọng số $\kappa$ là $O_\gamma^\kappa(\mathbf{1}_K)$. Bổ đề cơ bản (FL), do Robert Langlands và Diana Shelstad đặt giả thuyết năm 1983 (Hales 2011, §1.3–1.4), khẳng định rằng $O_\gamma^\kappa(\mathbf{1}_K)$ bằng một tích phân quỹ đạo ổn định $SO_{\gamma^H}(\mathbf{1}_{K^H})$ trên một nhóm nội soi liên kết $H$, sai khác các nhân tố chuyển đổi tường minh.

Đây chính xác là khối xây dựng địa phương cần thiết để so sánh vế hình học của công thức vết Arthur–Selberg cho $G$ với vế đó của $H$, đó là cách chương trình hàm tử của Langlands ổn định hóa công thức vết và phân loại các biểu diễn tự đẳng cấu. Vì đẳng thức phải đúng tại mọi vị trí và với mọi nhóm khử được, mà các tích phân quỹ đạo là những tích phân $p$-adic thực sự khó, FL đã không được chứng minh tổng quát suốt gần ba mươi năm, chỉ có trường hợp hạng một và một vài trường hợp hạng nhỏ được kiểm tra bằng tay (Hales 2011, phần mở đầu).

Bước tiếp theo ghi lại đơn giản hóa thực sự đầu tiên: Jean-Loup Waldspurger chỉ ra rằng phát biểu về nhóm suy ra từ một phát biểu tương tự về đại số Lie, và đó chính là nơi cuộc tấn công hình học của Ngô Bảo Châu thực sự diễn ra.