Lời giải: Chứng minh $\pi$ siêu việt của Lindemann giải quyết bài toán cầu phương hình tròn (1882)

Bài toán cổ điển, được chứng thực từ ít nhất thế kỷ 5 TCN (người ta kể Anaxagoras đã làm nó trong tù), yêu cầu một phép dựng bằng thước kẻ và compa cho một hình vuông có cùng diện tích với hình tròn cho trước. Chuẩn hóa bán kính bằng $1$, hình tròn có diện tích $\pi$, nên hình vuông cần tìm có cạnh $s$ với $s^2 = \pi$, tức $s = \sqrt{\pi}$. Nhiệm vụ hình học nhờ đó quy về việc tạo ra một đoạn thẳng độ dài $\sqrt{\pi}$ từ đoạn đơn vị.

Định lý 1837 của Wantzel chuyển 'đoạn tạo được' thành đại số: mọi độ dài dựng được nằm ở đỉnh của một tháp các mở rộng bậc hai của $\mathbb{Q}$, nên nó đại số trên $\mathbb{Q}$ — nghiệm của một đa thức hữu tỷ khác không nào đó — và bậc của nó là lũy thừa của $2$. Vì vậy cầu phương hình tròn khả thi chỉ nếu $\sqrt{\pi}$ đại số. Vì các số đại số tạo thành một trường đóng dưới các phép toán đa thức, $\sqrt{\pi}$ đại số khi và chỉ khi bình phương $\pi$ của nó đại số: nếu $\alpha$ thỏa $P(x) = 0$ thì $\alpha^2$ đại số vì $\mathbb{Q}(\alpha^2) \subseteq \mathbb{Q}(\alpha)$ là mở rộng hữu hạn, và ngược lại $\sqrt{\pi}$ sẽ thỏa $Q(x^2)=0$ nếu $\pi$ thỏa $Q(x)=0$.

Vậy mọi thứ quy về câu hỏi về một số thực duy nhất: $\pi$ đại số, hay siêu việt — không thỏa phương trình đa thức nào với hệ số hữu tỷ cả? Legendre từng phỏng đoán $\pi^2$ vô tỷ trong thập niên 1790, và Lambert đã chứng minh $\pi$ vô tỷ năm 1761, nhưng siêu việt mạnh hơn nhiều: nó phải loại trừ đồng thời các đa thức mọi bậc. Ferdinand von Lindemann giải quyết nó năm 1882, mở rộng phương pháp Charles Hermite đã dùng chín năm trước cho $e$.