Lời giải: Chứng minh $\pi$ siêu việt của Lindemann giải quyết bài toán cầu phương hình tròn (1882)

Bài toán cổ điển này, có từ ít nhất thế kỷ 5 TCN trong toán học Hy Lạp, yêu cầu dựng bằng thước kẻ và compa một hình vuông có cùng diện tích với một hình tròn cho trước. Lấy hình tròn có bán kính $1$ (diện tích $\pi$), hình vuông cần dựng có cạnh độ dài $s$ với $s^2=\pi$, tức $s=\sqrt{\pi}$.

Theo định lý năm 1837 của Wantzel (dùng để giải quyết chia ba góc và gấp đôi khối lập phương), mọi số thực dựng được bằng thước kẻ và compa đều nằm ở đỉnh của một tháp các mở rộng trường bậc hai trên $\mathbb{Q}$, và đặc biệt là số đại số — nghiệm của một đa thức khác không nào đó với hệ số hữu tỷ. Vậy cầu phương hình tròn chỉ khả thi nếu $\sqrt{\pi}$ là số đại số. Vì bình phương của một số đại số là số đại số và ngược lại (một số đại số $\alpha$ thỏa mãn một đa thức $P$, và $\alpha^2$ thỏa mãn một đa thức liên quan xây dựng từ $P$), $\sqrt{\pi}$ là số đại số chính xác khi $\pi$ là số đại số.

Vậy câu hỏi hình học quy hoàn toàn về câu hỏi về một số thực cụ thể: $\pi$ có phải là số đại số không, hay nó siêu việt (không thỏa mãn bất kỳ phương trình đa thức nào với hệ số hữu tỷ)? Ferdinand von Lindemann trả lời điều này vào năm 1882, mở rộng một phương pháp mà Charles Hermite đã dùng chín năm trước đó để xử lý $e$.