Lời giải: Chứng minh $\pi$ siêu việt của Lindemann giải quyết bài toán cầu phương hình tròn (1882)

Câu hỏi thường gặp

Nếu cầu phương chính xác là bất khả thi, tại sao kỹ sư và thợ xây vẫn dùng các xấp xỉ như

\pi\approx22/7

Cầu phương gần đúng — dựng một hình vuông có diện tích đủ gần với hình tròn cho mục đích thực tế — luôn luôn dễ dàng và vẫn hoàn toàn ổn cho kỹ thuật. Điều định lý của Lindemann loại trừ là một phép dựng chính xác bằng thước kẻ và compa trong hữu hạn bước; không xấp xỉ thực tế nào làm thay đổi sự thật toán học đó.

Nguồn

Ferdinand von Lindemann, 1882

Über die Zahl π

Bước 5 trên 6: Kết luận:

\pi

siêu việt, nên hình tròn không thể cầu phương

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Chuỗi lập luận giờ đã hoàn tất. Bước 4 chỉ ra $\pi$ không thể là số đại số, tức nó siêu việt: không đa thức nào với hệ số hữu tỷ, dù bậc bất kỳ, có $\pi$ là nghiệm. Vì bình phương của một số đại số luôn là số đại số, nếu $\sqrt{\pi}$ là số đại số thì $(\sqrt{\pi})^2=\pi$ cũng vậy — nhưng không phải. Vậy $\sqrt{\pi}$ cũng siêu việt.

Và định lý của Wantzel (Bước 1) đã cho ta biết mọi số dựng được bằng thước kẻ và compa đều là số đại số. Một số siêu việt do đó không bao giờ nằm trong danh sách các độ dài dựng được, chấm hết — giải quyết dứt điểm, sau hơn hai nghìn năm, rằng cầu phương hình tròn là bất khả thi.

\pi \notin \overline{\mathbb{Q}} \implies \sqrt{\pi} \notin \overline{\mathbb{Q}} \implies \text{squaring the circle is impossible}

Phân tích chi tiết

Bước 4 thiết lập $\pi\notin\overline{\mathbb{Q}}$ , với $\overline{\mathbb{Q}}$ ký hiệu trường các số đại số: $\pi$ siêu việt. Vì $\overline{\mathbb{Q}}$ đóng kín dưới phép lấy căn bậc hai (nếu $\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}$ thỏa mãn đa thức $P(x)$ , thì $\sqrt{\alpha}$ thỏa mãn $P(x^2)$ , cũng là một đa thức hữu tỷ khác không), mệnh đề đảo ngược cho: nếu $\sqrt{\pi}$ là số đại số, bình phương của nó $\pi$ cũng vậy. Vì $\pi$ không phải, $\sqrt{\pi}\notin\overline{\mathbb{Q}}$ cũng vậy — $\sqrt{\pi}$ siêu việt.

Bước 1 thiết lập mọi số thực dựng được bằng thước kẻ và compa đều là số đại số (Wantzel 1837), tức nằm trong $\overline{\mathbb{Q}}$ . Vì $\sqrt{\pi}$ nằm ngoài $\overline{\mathbb{Q}}$ , nó không thể dựng được bằng thước kẻ và compa. Nhưng cầu phương một hình tròn đơn vị đòi hỏi dựng chính xác một đoạn thẳng độ dài $\sqrt{\pi}$ (Bước 1), nên phép dựng này bất khả thi.

Điều này hoàn tất việc giải quyết bài toán cầu phương hình tròn, bài toán cuối cùng trong ba bài toán dựng hình cổ điển Hy Lạp (cùng với chia ba góc và gấp đôi khối lập phương) được giải quyết, 45 năm sau bài báo năm 1837 của Wantzel và khép lại một câu hỏi đã bỏ ngỏ từ thời cổ đại.