Lời giải: Chứng minh $\pi$ siêu việt của Lindemann giải quyết bài toán cầu phương hình tròn (1882)

Câu hỏi thường gặp

Bản thân đẳng thức Euler có phải là điều Lindemann cần chứng minh không?

Không — đẳng thức Euler đã được thiết lập vững chắc từ trước (từ chuỗi lũy thừa phức, hàng chục năm trước Lindemann) và đúng vô điều kiện. Đóng góp mới thực sự của Lindemann, trình bày ở bước tiếp theo, là phát biểu khó hơn rằng $e^\alpha$ không thể là số đại số với bất kỳ số đại số khác không $\alpha$ nào.

Nguồn

Ferdinand von Lindemann, 1882

Über die Zahl π

Bước 3 trên 6: Thiết lập mâu thuẫn bằng đẳng thức Euler

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Để chứng minh $\pi$ siêu việt, Lindemann dùng chiến thuật kinh điển của chứng minh phản chứng: giả sử điều ngược lại, rằng $\pi$ là số đại số, rồi suy ra điều vô lý. Đẳng thức nổi tiếng của Euler $e^{i\pi}+1=0$ là đòn bẩy hoàn hảo cho việc này, vì nó nối $\pi$ trực tiếp với một lũy thừa của $e$ .

Nếu $\pi$ là số đại số, nhân nó với số đại số $i=\sqrt{-1}$ sẽ cho một số đại số khác, $i\pi$ . Đẳng thức Euler khi đó nói rằng $e$ lũy thừa với số mũ đại số $i\pi$ này bằng $-1$ — bản thân cũng là số đại số. Nhưng phương pháp của Hermite, khi được mở rộng phù hợp, nói rằng điều đó không bao giờ xảy ra.

e^{i\pi} + 1 = 0

Phân tích chi tiết

Giả sử phản chứng rằng $\pi$ là số đại số. Vì $i=\sqrt{-1}$ là nghiệm của $x^2+1=0$ , nó là số đại số, và tích của hai số đại số là số đại số (mở rộng trường kết hợp của chúng trên $\mathbb{Q}$ là hữu hạn), nên $i\pi$ sẽ là một số đại số khác không dưới giả thiết này.

Đẳng thức Euler, $e^{i\pi}+1=0$ , tức $e^{i\pi}=-1$ , là một định lý của giải tích phức, đúng vô điều kiện bất kể $\pi$ hóa ra là gì: nó suy ra từ định nghĩa chuỗi lũy thừa của $e^x$ , $\cos x$ , và $\sin x$ , cho $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ và do đó $e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$ . Kết hợp với giả thiết $\pi$ là số đại số, điều này có nghĩa $e^\alpha=-1$ với số đại số khác không $\alpha=i\pi$ , và $-1$ tự nó là số đại số (nghiệm của $x+1=0$ ).

Vậy giả thiết 'π là số đại số' buộc phải có một hệ quả rất cụ thể: một số đại số khác không $\alpha$ nào đó (cụ thể là $i\pi$ ) có $e^\alpha$ là số đại số. Bước tiếp theo chỉ ra hệ quả này chính xác là điều Lindemann chứng minh là bất khả thi, khép lại mâu thuẫn.