Lời giải: Chứng minh $\pi$ siêu việt của Lindemann giải quyết bài toán cầu phương hình tròn (1882)

Bài báo năm 1873 của Hermite 'Sur la fonction exponentielle' chứng minh $e$ siêu việt: không có các số nguyên khác không $a_0,\ldots,a_n$ nào thỏa mãn $a_0+a_1e+a_2e^2+\cdots+a_ne^n=0$. Phương pháp dựng một đa thức phụ $f(x)$ có bậc cao (xây dựng dùng một số nguyên tố lớn $p$ làm tham số) và nghiên cứu các đại lượng $J_k=\int_0^k e^{k-x}f(x)\,dx$ với $k=0,1,\ldots,n$; lấy tích phân từng phần lặp lại biến mỗi $J_k$ thành một tổng liên quan tới $e^k$ và các đạo hàm của $f$ tính tại $0$ và $k$.

Tổ hợp $a_0J_0+a_1J_1+\cdots+a_nJ_n$ có thể chỉ ra, theo cách xây dựng, bằng một số nguyên khác không không chia hết cho số nguyên tố lớn $p$ đã chọn (nên chắc chắn khác không) nếu quan hệ giả định giữa các lũy thừa của $e$ đúng. Nhưng các ước lượng riêng của tích phân cho thấy chính tổ hợp đó có giá trị tuyệt đối tiến về $0$ khi $p\to\infty$. Một số nguyên khác không không thể có giá trị tuyệt đối nhỏ tùy ý, nên quan hệ giả định không thể tồn tại: $e$ siêu việt.

Chứng minh này cung cấp bản mẫu — tích phân phụ, mâu thuẫn số nguyên đối lập với ước lượng nhỏ — mà Ferdinand von Lindemann điều chỉnh chín năm sau để xử lý không chỉ riêng $e$ mà cả $e^\alpha$ với mọi số đại số khác không $\alpha$, sự mở rộng then chốt cần cho $\pi$.