Lời giải: Chứng minh $\pi$ siêu việt của Lindemann giải quyết bài toán cầu phương hình tròn (1882)

Bài báo năm 1882 của Lindemann 'Über die Zahl $\pi$' chứng minh: với mọi số đại số khác không $\alpha$, giá trị $e^\alpha$ siêu việt. Điều này tổng quát hóa kết quả năm 1873 của Hermite (trường hợp $\alpha=1$, cho $e=e^1$ siêu việt) sang các số mũ đại số bất kỳ, kể cả số phức.

Chứng minh điều chỉnh cách dựng tích phân phụ của Hermite, nhưng trong khi Hermite làm việc với một số nguyên duy nhất $\alpha=1$, Lindemann phải làm việc đồng thời với $\alpha$ và tất cả các liên hợp đại số của nó (các nghiệm khác của đa thức tối tiểu của $\alpha$), nhân các tích phân phụ trên toàn bộ tập hợp sao cho các tổ hợp hàm đối xứng xuất hiện trong ước lượng cuối cùng chắc chắn là hữu tỷ — một bài toán quản lý sổ sách khó hơn đáng kể mà Lindemann giải quyết bằng các đa thức đối xứng cơ bản và cùng loại ước lượng hai mặt (số nguyên khác không bị buộc phải có, đối lập với nhỏ tùy ý) như lập luận của Hermite.

Áp dụng định lý này cho $\alpha=i\pi$ (được giả thiết khác không và đại số ở Bước 3) cho ngay lập tức $e^{i\pi}$ phải siêu việt. Nhưng Bước 3 cũng chỉ ra $e^{i\pi}=-1$, một số đại số — một mâu thuẫn trực tiếp. Lối thoát duy nhất là giả thiết đã sai: $\pi$ không phải số đại số, tức $\pi$ siêu việt (Lindemann 1882).