Lời giải: Chứng minh tồn tại của Hilbert cho bài toán Waring (1909)

Bước 1 trên 7: Phỏng đoán năm 1770 của Waring và các trường hợp riêng trước Hilbert

Hiểu nôm na

Mọi số nguyên hiển nhiên là tổng của các số $1$ , nhưng Joseph-Louis Lagrange đã chứng minh điều sắc bén hơn hẳn vào năm 1770: mọi số nguyên dương đều là tổng của nhiều nhất $4$ số chính phương. Cùng năm đó, Edward Waring đoán rằng đây chỉ là trường hợp đầu tiên của một khuôn mẫu lớn hơn nhiều: với lập phương, cần nhiều nhất $9$ ; với lũy thừa bậc bốn, nhiều nhất $19$ ; và cứ thế với mọi số mũ $k$ .

Suốt 139 năm, đây vẫn chỉ là một phỏng đoán được kiểm chứng từng trường hợp một (bình phương bởi Lagrange, lập phương và vài số mũ nhỏ khác bởi những người khác), không có lý do tổng quát nào giải thích vì sao một chặn hữu hạn $g(k)$ lại phải tồn tại đồng thời cho mọi $k$ . Bài báo năm 1909 của Hilbert cuối cùng đã cung cấp lý do tổng quát đó.

\forall k\ge2\ \exists\, g(k)<\infty:\ \text{every } N\in\mathbb{N} \text{ is a sum of at most } g(k) \text{ } k\text{-th powers}

Phân tích chi tiết

Bài toán Waring, nêu trong cuốn Meditationes Algebraicae năm 1770 của ông, hỏi: với mỗi số nguyên $k\ge2$ , có tồn tại một số hữu hạn $g(k)$ sao cho mọi số nguyên dương đều là tổng của nhiều nhất $g(k)$ lũy thừa bậc $k$ không âm hay không? Định lý bốn bình phương của Lagrange (1770) giải quyết $k=2$ với $g(2)=4$ ; nhận xét của Waring mở rộng khuôn mẫu này sang lập phương ( $g(3)=9$ , theo phỏng đoán) và lũy thừa bậc bốn ( $g(4)=19$ , theo phỏng đoán), 'và cứ thế,' mà không chứng minh.

Tiến bộ trước Hilbert diễn ra rời rạc: các giá trị $k$ riêng lẻ (tới $k=10$ ) được xử lý bởi nhiều nhà toán học thế kỷ 19 dùng các đẳng thức tùy biến, và Joseph Liouville chỉ ra năm 1859 rằng $g(4)\le53$ bằng cách dùng định lý bốn bình phương của Lagrange hai lần (đẳng thức của ông $6(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2=\sum_{i<j}(x_i+x_j)^4+\sum_{i<j}(x_i-x_j)^4$ tự nó là một trường hợp nhỏ của khuôn mẫu tổng quát mà Hilbert sau này sẽ khai thác). Không có lập luận tổng quát nào tồn tại cho $k$ tùy ý.

Bài báo năm 1909 của Hilbert (*Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$ -ter Potenzen*, Mathematische Annalen) cuối cùng chứng minh $g(k)<\infty$ với mọi $k$ — định lý Hilbert–Waring. Các bước còn lại tóm tắt chiến lược của ông: một đẳng thức đại số duy nhất, nguồn gốc của nó từ việc lấy trung bình trên một mặt cầu chiều cao, và cách nó tự nâng cấp thành một chứng minh tồn tại trọn vẹn, theo cách trình bày đẳng thức này trong Additive Number Theory: The Classical Bases của Nathanson (Springer GTM 164, Chương 3) và bài tổng thuật năm 1971 của Ellison.

Thuật ngữ trong bước này

Bài toán Waring và $g(k)$: Với $k\ge2$ cố định, $g(k)$ ký hiệu số lượng nhỏ nhất các lũy thừa bậc $k$ không âm cần để biểu diễn mọi số nguyên dương thành tổng của chúng. Bài toán Waring là câu hỏi liệu $g(k)$ có hữu hạn với mọi $k$ hay không.