解法：希尔伯特对华林问题的存在性证明(1909年)

第 4/7 步：结合拉格朗日四平方定理:每个

y^k

都各得其所

上一步下一步

通俗地说

在希尔伯特恒等式中取 $r=4$ 。拉格朗日四平方定理把每个非负整数 $y$ 写成 $y=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ ,所以代入得到 $y^k=\sum_i a_i z_i^{2k}$ ,其中 $z_i$ 为整数。这是关于 $y^k$ 的有用有理组合恒等式,但还不是第2步对指数 $2k$ 所需的假设——后者要求表示每个整数 $n$ 本身。因此,这个关系是希尔伯特归纳法的一个组成部分,而不是单独证明 $g(2k)<\infty$ 。

y^k = \sum_{i=1}^{M} a_i\, z_i^{2k},\qquad z_i = b_{i,1}x_1+\cdots+b_{i,4}x_4,\ \ y=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2

详细分析

把四平方表示代入希尔伯特恒等式,对每个非负 $y$ 得到 $y^k=\sum_i a_i z_i^{2k}$ 。要仔细注意逻辑范围:左边是一个 $k$ 次幂,而不是任意整数。因此不能仅凭这个等式把第2步应用于目标指数 $2k$ 。希尔伯特的完整证明把此恒等式与进一步的归纳及辅助表示结合起来;下一步记录这一额外归纳,而不再声称上面的恒等式本身已经完成偶数情形。