解法：希尔伯特对华林问题的存在性证明(1909年)

这一步刻意做了浓缩处理:希尔伯特1909年完整的论证(《数学年刊》第67卷)对每个整数 $k\ge2$(不仅是偶数 $k$)都确立了 $g(k)<\infty$,方法是对 $k$ 进行强归纳,在每个阶段使用同样的球面平均恒等式并适当选取变量个数 $r$,再结合归纳假设(所有更小的指数已经有有限的 $g$ 值)(纳森教材中的定理3.6,“希尔伯特–华林定理:非负 $k$ 次幂集合对每个正整数 $k$ 都是有限阶的基”)。我们在这里遵循埃利森1971年的综述(《华林问题》,《美国数学月刊》第78卷)对这个技术性归纳做了概括,而不是完整重现其逐情形的记账过程。

埃利森以及后来的阐述(例如拉德马赫–托普利茨)所明确指出的重要结构性要点是:除了第3步的球面平均恒等式之外,并不需要任何真正新的想法——在整个归纳过程中变化的,只是拉格朗日(或某个类似的、更一般的)表示定理提供了哪些辅助整数,以及恒等式用了多少个变量 $r$。整个证明的数学内容都包含在第2–4步中;这一步只是把“对偶数指数成立”转变为“对每个指数都成立”的技术性脚手架。

在对每个 $k\ge2$ 确立了 $g(k)<\infty$ 之后,希尔伯特–华林定理就得证了。希尔伯特的证明完全是定性的:它完全没有给出 $g(k)$ 的任何显式数值界,只给出了它的有限性——这一点在希尔伯特同时代人看来颇为引人注目,因为在1900年前后的数学界某些角落,不带显式界的存在性证明仍存在争议。