解法：希尔伯特对华林问题的存在性证明(1909年)

希尔伯特1909年的证明对每个 $k$ 都确立了 $g(k)<\infty$,却从未给出关于 $g(k)$、$M$,或者他恒等式中作为 $k$ 的函数的常数 $a_i,b_{i,j}$ 的任何可用公式或数值界(Wolfram MathWorld 与多个二手资料都描述希尔伯特原始论证一旦完全写出,涉及一个特别难以处理的高重多重积分;拉德马赫与托普利茨1957年的阐述作品《数学的乐趣》重新整理了这个恒等式使其更易处理,但仍未给出精确的数值界)。关于 $g(k)$ 第一个真正显式的界迟至1953年才由 G. 里格给出,得到一个显式但非常弱的界;这本身用的是希尔伯特方法的一个简化版本,而非希尔伯特原始的数值。

这种定性特征反映的是一个真实的方法论选择,而非一个缺陷:球面平均恒等式从根本上是一个存在性论证(某个正的积分非零,或某个正有理组合存在),而把它变成显式数字需要额外的、独立的组合工作,希尔伯特并未去做。这里的历史背景也很重要——这种风格的存在性证明(不变量理论中希尔伯特1890年的有限基定理是更早、最著名的例子)在渴望构造性方法的数学家中曾引发争议,而希尔伯特华林问题的证明延续了同样的非构造性精神。

这个定性的缺口,正是后来1920年 Hardy–Littlewood 圆法为大指数所填补的:它不是重新证明有限性,而是直接用分析方法攻击计数问题(通过对生成函数 $F(z)=\sum_{a\ge0}z^{a^k}$ 沿单位圆的围道积分,分成“主要”弧与“次要”弧),同时给出存在性以及关于 $g(k)$ 及相关量 $G(k)$(所有充分大整数所需的 $k$ 次幂个数)的显式、往往接近最优的数值界。维诺格拉多夫以及后来的伍利进一步改进了圆法,如今 $g(k)$ 在非常宽的 $k$ 范围内已被精确确定,一般情形则由公式 $g(k)=2^k+\lfloor(3/2)^k\rfloor-2$ 猜想给出。