解法：希尔伯特对华林问题的存在性证明(1909年)

希尔伯特恒等式(如纳森证明的课程讲解中所述,例如巴克斯特《加性数论讨论班》讲义,定理1)是:对每个 $k\ge1$ 与 $r\ge1$,都存在整数 $M$、正有理数 $a_1,\dots,a_M$,以及整数 $b_{i,j}$($i=1,\dots,M$,$j=1,\dots,r$),使得对实变量 $x_1,\dots,x_r$ 恒有 $(x_1^2+\cdots+x_r^2)^k=\sum_{i=1}^M a_i(b_{i,1}x_1+\cdots+b_{i,r}x_r)^{2k}$。

恰好这种形状的经典手工构造实例早于希尔伯特就已存在:取 $r=4$,刘维尔的 $k=2$ 恒等式 $6(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2=\sum_{i<j}(x_i+x_j)^4+\sum_{i<j}(x_i-x_j)^4$ 给出 $g(4)\le53$;弗莱克的 $k=3$ 恒等式涉及 $x_i\pm x_j\pm x_l$、$x_i\pm x_j$ 以及 $x_i^6$ 的六次幂;赫尔维茨的 $k=4$ 恒等式涉及八次幂。每一个都是希尔伯特一般恒等式在特定对 $(k,r=4)$ 下的特殊情形。

对任意 $k$ 这种恒等式的存在性,可以通过取平均来理解:考虑当 $u=(u_1,\dots,u_r)$ 在 $\mathbb{R}^r$ 中的单位球面 $\|u\|=1$ 上均匀取值时,$(u\cdot x)^{2k}=(u_1x_1+\cdots+u_rx_r)^{2k}$ 的平均值。由旋转对称性,这个平均值只依赖于 $\|x\|^{2k}=(x_1^2+\cdots+x_r^2)^k$,给出一个连续的积分恒等式 $(x_1^2+\cdots+x_r^2)^k=c_{r,k}\int_{\|u\|=1}(u\cdot x)^{2k}\,d\sigma(u)$,其中 $c_{r,k}$ 是某个显式的正常数。希尔伯特的代数恒等式正是这个连续平均的一个有限、离散化的版本——用有理权重 $a_i$ 在有限多个方向 $u^{(i)}=(b_{i,1},\dots,b_{i,r})$ 上的有限加权和取代球面积分,并且这种取代方式对这个特定的 $2k$ 次被积函数能精确重现积分值(这是球面设计/数值求积公式理论中的经典手法)。