Định lý tích phân Cauchy

Cách tiếp cận ban đầu năm 1825 của Cauchy giả sử $f'$ liên tục, viết $f(z)\,dz = (u\,dx - v\,dy) + i(v\,dx + u\,dy)$, rồi áp dụng định lý Green để các tích phân kép triệt tiêu nhờ hệ phương trình Cauchy–Riemann $\partial u/\partial x = \partial v/\partial y$ và $\partial u/\partial y = -\partial v/\partial x$. Năm 1900, Édouard Goursat bỏ được giả thiết liên tục của $f'$: trước hết chứng minh tích phân quanh mọi tam giác $T \subset U$ bằng không bằng cách chia đôi các cạnh của $T$ thành bốn tam giác con, chọn tam giác con có môđun tích phân lớn nhất, và dùng xấp xỉ tuyến tính địa phương $f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + o(|z - z_0|)$ tại điểm hội tụ $z_0$ để chỉ ra tích phân bị chặn bởi một bội nhỏ tùy ý của bình phương chu vi. Từ tam giác, ta dựng nguyên hàm trên miền hình sao rồi mở rộng sang miền đơn liên tổng quát.