Sàng có trọng số và nguyên lý chuyển đổi của Chen: mọi số chẵn lớn đều là $p + P_2$ (1966/1973)

Bước 2 trên 4: Một sàng tuyến tính có trọng số, theo Jurkat–Richert

Hiểu nôm na

Thay vì một tổng sàng đơn, Chen kết hợp nhiều tổng: một tổng sàng chính $S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)$ đếm các số nguyên tố dịch $N-p$ không có thừa số nguyên tố dưới $z\approx N^{1/10}$ (ứng viên cho $q=1$ hoặc $q$ nguyên tố hoặc $q=P_2$ ), cùng với các tổng hiệu chỉnh trừ đi các trường hợp không mong muốn mà $N-p$ có từ ba thừa số nguyên tố trở lên dưới ngưỡng cắt. Định lý Jurkat–Richert (1965) cung cấp các chặn dưới và trên tường minh, sắc nét cho các tổng sàng như vậy theo hai hàm phổ dụng $F_1,f_1$ giải một hệ vi-sai phân tuyến tính, chính là công nghệ cần thiết để làm cho tổ hợp chứng minh được là dương.

S(\mathcal{A},\mathcal{P},z) = \#\{n\in\mathcal{A} : p\mid n \Rightarrow p\ge z\},\qquad \mathcal{A}=\{N-p : p\le N\}

Phân tích chi tiết

Cụ thể, Chen nghiên cứu một tổ hợp như $W(N)=\sum_{\substack{N-p\,\text{squarefree}\\p\le N}} \Big(1-\tfrac12\sum_{\substack{N-p=p_1p_2p_3\\ z\le p_1<p_2<p_3}}1\Big)$ , sao cho $W(N)>0$ xác nhận sự tồn tại một số nguyên tố $p\le N$ mà $N-p$ không có thừa số dưới $z$ và không phải tích của ba số nguyên tố đều trên $z$ — buộc $N-p$ phải là số nguyên tố hoặc là $P_2$ (thừa số nguyên tố còn lại dưới $z$ nếu có chỉ có thể xuất hiện với bội cho tổng cộng nhiều nhất hai thừa số, do ngưỡng cắt $z\approx N^{1/10}$ ). Tổng đầu là một sàng chuẩn, chặn dưới được bởi Jurkat–Richert; tổng hiệu chỉnh chính là chỗ cần nguyên lý chuyển đổi ở bước tiếp theo.