Sàng có trọng số và nguyên lý chuyển đổi của Chen: mọi số chẵn lớn đều là $p + P_2$ (1966/1973)

Câu hỏi thường gặp

Vì sao phương pháp này không mở rộng được từ

P_2

xuống tận một số nguyên tố thực sự, chứng minh trọn vẹn giả thuyết Goldbach?

Bất đẳng thức sàng có trọng số chỉ chứng minh được một chặn dưới là dương; nó không thể xác nhận rằng $N-p$ còn sót lại có đúng một thừa số nguyên tố thay vì đúng hai, chính vì sự phân biệt đó là vấn đề chẵn lẻ mà sàng không thể thấy. Để tới được số nguyên tố thực sự cần một công cụ về căn bản khác, vượt ra ngoài các trọng số sàng — hiện chưa có công cụ nào như vậy được biết tới.

Nguồn

Chen Jingrun (1966 announcement, 1973 full proof); simplified by P. M. Ross (1975), 1973

On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes

Bản tóm lược

Bước 3 trên 4: Nguyên lý chuyển đổi: đổi vai trò giữa

p

và

p_1

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Chặn tổng hiệu chỉnh trực tiếp — trên mọi số nguyên tố $p\le N$ và mọi phân tích $N-p=p_1p_2p_3$ — trộn hai biến khác nhau ( $p$ và $p_1$ ) theo cách mà các chặn sàng thông thường không thể xử lý hiệu quả. Nguyên lý chuyển đổi của Chen thay đổi góc nhìn: với một số nguyên tố $p_1$ cố định trong một khoảng trung bình phù hợp, điều kiện ' $p_1$ chia hết $N-p$ ' chỉ đơn giản là đồng dư $p\equiv N\pmod{p_1}$ . Vậy thay vì sàng $N-p$ trên $p$ biến thiên, ta sàng chính các số nguyên tố $p$ bên trong một lớp thặng dư cố định theo mod $p_1$ — đổi bài toán sàng 'ba thừa số' khó ban đầu lấy một bài toán dễ hơn về phân bố số nguyên tố trong cấp số cộng, lấy tổng trên $p_1$ .

N-p = p_1p_2p_3 \ (p_1<p_2<p_3) \ \ \xrightarrow{\text{switch}} \ \ p \equiv N \!\!\pmod{p_1}, \quad p_1 \ \text{fixed in a middle range}

Phân tích chi tiết

Sau khi chuyển đổi, việc chặn tổng hiệu chỉnh quy về việc chặn $\sum_{p_1} \pi(N; p_1, N)$ — số đếm số nguyên tố $p\le N$ trong lớp thặng dư $N \bmod p_1$ — đều trên các số nguyên tố $p_1$ tới cỡ $N^{1/3}$ . Đây chính xác là chế độ mà định lý Bombieri–Vinogradov áp dụng: nó chỉ ra rằng, trung bình trên các môđun $q$ tới $N^{1/2-\varepsilon}$ , số đếm số nguyên tố trong bất kỳ lớp thặng dư nào mod $q$ đúng như dự đoán từ định lý số nguyên tố, với sai số đủ nhỏ (vô điều kiện, không cần tới Giả thuyết Riemann tổng quát vẫn chưa được chứng minh) để làm cho tổng hiệu chỉnh chứng minh được là nhỏ hơn số hạng chính ở Bước 2. Kết hợp cả hai cho $W(N)>0$ với mọi $N$ chẵn đủ lớn.