Định lýĐã chứng minh

Định lý góc nội tiếp

Phát biểu

Cho $A$ , $B$ , $C$ là các điểm trên đường tròn tâm $O$ . Góc nội tiếp $\angle ACB$ bằng nửa góc ở tâm $\angle AOB$ cùng chắn cung $AB$ : $\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB$ . Hệ quả là mọi góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, và mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông ( $90^\circ$ ).

Vì sao đúng?

Vì mọi điểm trên đường tròn đều cách tâm $O$ cùng một khoảng $R$ , nên bất kỳ dây cung nào nối từ đỉnh $C$ tới $A$ hoặc $B$ đều tạo với hai bán kính một tam giác cân. Góc ngoài tại tâm $O$ bằng tổng hai góc ở đáy bằng nhau của tam giác cân đó, nhờ vậy khi nhìn cung $AB$ từ vành xa của đường tròn, góc nhìn tại tâm $O$ luôn bị chia đôi.

Phác thảo chứng minh

Trước hết giả sử đường kính $CD$ đi qua $C$ và $O$ là một cạnh của góc nội tiếp, chẳng hạn $B = D$ . Khi đó $\triangle OAC$ cân có $OA = OC$ nên $\angle OCA = \angle OAC$ , và góc ngoài tại $O$ thỏa mãn $\angle AOB = \angle OCA + \angle OAC = 2\angle ACB$ . Trong trường hợp tổng quát, kẻ đường kính $CD$ rồi cộng hoặc trừ hai trường hợp đường kính cho hai cung $AD$ và $BD$ để thu được $\angle ACB = \tfrac{1}{2}\angle AOB$ .

Người chứng minh

chứng minh năm -300Euclid xứ Alexandria

Chủ đề chứa định lý này

Đường tròn

Định lý liên quan

Định lý sin Định lý Ptolemy Định lý Pythagoras

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Euclid (translated by Thomas L. Heath) (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Vol. 2 (Book III, Propositions 20–21, 31)
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited · DOI:10.5948/UPO9780883859346