托勒密定理

在对角线 $BD$ 上取点 $M$，使得 $\angle BAM = \angle CAD$。由于圆周角 $\angle ABM$ 与 $\angle ACD$ 同对弧 $AD$，二者相等，故 $\triangle ABM$ 与 $\triangle ACD$ 相似，从而 $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BM}{CD}$，即 $AB \cdot CD = AC \cdot BM$。在 $\angle BAM = \angle CAD$ 两边同加 $\angle MAC$ 得 $\angle BAC = \angle MAD$，又因 $\angle BCA = \angle BDA$，所以 $\triangle ABC$ 与 $\triangle AMD$ 相似，得出 $\dfrac{BC}{MD} = \dfrac{AC}{AD}$，即 $BC \cdot AD = AC \cdot MD$。将两式相加便得 $AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC(BM + MD) = AC \cdot BD$。