Định lýĐã chứng minh

Định lý Ptolemy

Phát biểu

Với mọi tứ giác nội tiếp $ABCD$ (các đỉnh lấy theo thứ tự trên đường tròn), tích độ dài hai đường chéo bằng tổng các tích độ dài các cặp cạnh đối diện: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ .

Vì sao đúng?

Khi một hình chữ nhật nội tiếp trong đường tròn, hai đường chéo của nó là các đường kính độ dài $c$ và các cặp cạnh đối là những cặp cạnh góc vuông bằng nhau $a$ và $b$ , nên $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ rút gọn trực tiếp về định lý Pythagoras $c^2 = a^2 + b^2$ . Khi biến dạng hình chữ nhật bằng cách trượt bốn đỉnh dọc theo đường tròn đó, các góc nội tiếp chắn mỗi cung vẫn được bảo toàn, giữ cho các tam giác tạo bởi cạnh và đường chéo luôn đồng dạng từng đôi để tỉ số cạnh của chúng cộng lại vẫn đúng bằng tích hai đường chéo.

Phác thảo chứng minh

Chọn điểm $M$ trên đường chéo $BD$ sao cho $\angle BAM = \angle CAD$ . Vì hai góc nội tiếp $\angle ABM$ và $\angle ACD$ cùng chắn cung $AD$ nên bằng nhau, làm cho $\triangle ABM$ đồng dạng với $\triangle ACD$ ; suy ra $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BM}{CD}$ , hay $AB \cdot CD = AC \cdot BM$ . Cộng $\angle MAC$ vào $\angle BAM = \angle CAD$ ta được $\angle BAC = \angle MAD$ , và vì $\angle BCA = \angle BDA$ nên $\triangle ABC$ đồng dạng với $\triangle AMD$ , cho $\dfrac{BC}{MD} = \dfrac{AC}{AD}$ , hay $BC \cdot AD = AC \cdot MD$ . Cộng hai đẳng thức lại ta thu được $AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC(BM + MD) = AC \cdot BD$ .

Chủ đề chứa định lý này

Tứ giác và đa giác

Định lý liên quan

Định lý góc nội tiếp Định lý Pythagoras Định lý sin

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Claudius Ptolemy (translated by G. J. Toomer) (1998). Ptolemy's Almagest (Book I, Chapter 10)
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited · DOI:10.5948/UPO9780883859346