Lớp 9

Đường tròn

Tập hợp các điểm cách đều một tâm cố định, cùng tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp của nó.

Trực giácMột tâm, bán kính không đổi và điều bất ngờ của các góc không đổi

Ghim một đầu sợi dây căng có độ dài $R > 0$ tại một điểm cố định $O$ rồi quét đầu kia một vòng trên mặt phẳng: đường cong vạch ra chính là đường tròn $(O, R)$ , hình có tính đối xứng cao nhất trong hình học phẳng. Mọi đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn là một dây cung $AB$ , còn đường thẳng chỉ chạm vào đường tròn tại đúng một điểm là tiếp tuyến. Ẩn bên trong định nghĩa đơn giản này là một bất ngờ hình học tuyệt đẹp: nếu bạn đứng tại một điểm $C$ bất kỳ trên cung lớn và nhìn về dây cung, góc nhìn của bạn (góc nội tiếp) luôn bằng đúng một nửa góc ở tâm $\angle AOB$ , tức là $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ — dù bạn di chuyển tới đâu dọc theo cung đó! Đặc biệt, khi dây cung là một đường kính (góc ở tâm $180^\circ$ ), định lý Thales bảo đảm góc vuông $\angle ACB = 90^\circ$ tại mọi điểm trên nửa đường tròn. Hãy dùng đường tròn đơn vị tương tác bên dưới để khám phá cách việc quay một điểm quanh tâm làm thay đổi góc ở tâm và tọa độ của nó.

Một điểm quay trên đường tròn đơn vị quanh tâm

O

theo góc ở tâm

\theta

, với tọa độ

(\cos\theta, \sin\theta)

Phổ thôngDây cung, tiếp tuyến, góc nội tiếp và phương tích của một điểm

Định nghĩa: Đường tròn, dây cung, tiếp tuyến và góc nội tiếp

Đường tròn $(O, R)$ là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng có khoảng cách tới tâm thỏa mãn $OM = R$ . Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây đó ( $OM \perp AB \iff MA = MB$ ), và tiếp tuyến tại tiếp điểm thì vuông góc với bán kính ( $OT \perp d$ ). Mọi góc nội tiếp $\angle ACB$ đều bằng một nửa góc ở tâm $\angle AOB$ cùng chắn một cung:

\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

Khi dây cung là đường kính, góc ở tâm bằng $\angle AOB = 180^\circ$ , nên định lý Thales cho nửa đường tròn cho $\angle ACB = 90^\circ$ tại mọi điểm trên nửa đường tròn. Hơn nữa, mỗi khi hai đường thẳng đi qua một điểm $P$ (nằm trong hoặc ngoài đường tròn) cắt đường tròn theo hai dây cung $AB$ và $CD$ , tích độ dài các đoạn thẳng tính từ giao điểm luôn không đổi (phương tích của một điểm):

PA \cdot PB = PC \cdot PD

Các định lý cơ bản của hình học đường tròn
Cấu hình	Điều kiện hình học	Hệ thức chính
Đường vuông góc từ tâm tới dây $AB$	Chân đường vuông góc $M$ trên dây	$OM \perp AB \iff MA = MB$ , $R^2 = OM^2 + MA^2$
Tiếp tuyến kẻ từ điểm ngoài $P$	Các tiếp điểm $T_1, T_2$ trên đường tròn	$OT_1 \perp PT_1$ và $PT_1 = PT_2$
Góc nội tiếp chắn cung $AB$	Đỉnh $C$ trên đường tròn, tâm $O$	$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$
Nửa đường tròn Thales đường kính $AB$	$AB = 2R$ đi qua tâm $O$	$\angle ACB = 90^\circ$
Phương tích của điểm $P$	Hai đường thẳng $PAB$ và $PCD$ cắt đường tròn	$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Đại họcHai định lý trọng tâm và chứng minh

Định lý: Định lý góc nội tiếp và Hệ quả nửa đường tròn Thales

Với ba điểm bất kỳ trên đường tròn $(O, R)$ , góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung: $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ . Đặc biệt, khi dây cung $AB$ là đường kính, mọi góc nội tiếp chắn dây đó đều là góc vuông ( $\angle ACB = 90^\circ$ ).

Vì sao đúng?

Vì mọi bán kính của một đường tròn đều có độ dài bằng nhau, việc nối tâm với ba đỉnh chia cấu hình thành các tam giác cân; định lý góc ngoài áp dụng cho các tam giác cân đó lập tức nhân đôi mỗi nửa của góc nội tiếp thành phần tương ứng của góc ở tâm.

Chứng minh

Bước 1 (kẻ đường kính từ đỉnh và dùng tam giác cân). Kẻ đường kính $CD$ đi qua đỉnh góc nội tiếp và tâm đường tròn. Vì hai bán kính có độ dài bằng nhau $OA = OC = R$ , tam giác $\triangle OAC$ cân tại tâm, nên hai góc ở đáy bằng nhau: $\angle OCA = \angle OAC$ .

Bước 2 (áp dụng định lý góc ngoài cho cả hai nửa). Góc ngoài tại tâm bằng tổng hai góc trong không kề với nó, cho $\angle AOD = \angle OCA + \angle OAC = 2\angle OCA$ . Áp dụng đúng lập luận tam giác cân đó cho $\triangle OBC$ được $\angle BOD = 2\angle OCB$ .

Bước 3 (ghép hai nửa và suy ra định lý Thales). Cộng hai góc ở tâm (hoặc trừ chúng khi tâm nằm ngoài góc nội tiếp) cho $\angle AOB = \angle AOD + \angle BOD = 2(\angle OCA + \angle OCB) = 2\angle ACB$ . Trong trường hợp đặc biệt khi dây cung là đường kính, góc ở tâm là góc bẹt ( $\angle AOB = 180^\circ$ ), lập tức cho định lý nửa đường tròn Thales $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ .

Định lý: Phương tích của một điểm (Các dây cung và cát tuyến cắt nhau)

Nếu hai đường thẳng đi qua một điểm $P$ cắt đường tròn tại các đầu mút của hai dây cung $AB$ và $CD$ , thì tích độ dài các đoạn thẳng tính từ điểm đó bằng nhau: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ . Khi điểm nằm ngoài đường tròn và kẻ một đoạn tiếp tuyến tới đường tròn, bình phương độ dài tiếp tuyến thỏa mãn $PT^2 = PA \cdot PB$ .

Vì sao đúng?

Mặc dù đường tròn là đường cong, định lý góc nội tiếp khóa chặt các góc của hai tam giác tạo bởi hai dây cung cắt nhau làm chúng bằng nhau, khiến hai tam giác đồng dạng; việc đổi tỉ lệ cạnh tương ứng sang tích chéo biến tỉ số độ dài thành một tích bất biến.

Chứng minh

Bước 1 (tạo hai tam giác từ các đầu mút dây cung). Nối các đầu mút bằng các đoạn thẳng $AC$ và $BD$ để tạo thành hai tam giác $\triangle PAC$ và $\triangle PDB$ .

Bước 2 (chứng minh hai tam giác đồng dạng nhờ góc nội tiếp). Vì các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, ta có $\angle CAP = \angle BDP$ . Ngoài ra, hai góc tại giao điểm cũng bằng nhau (là hai góc đối đỉnh khi điểm nằm trong đường tròn, hoặc là góc chung khi điểm nằm ngoài đường tròn): $\angle APC = \angle DPB$ . Theo trường hợp đồng dạng Góc-Góc, $\triangle PAC \sim \triangle PDB$ .

Bước 3 (lập tỉ số các cạnh tương ứng và nhân chéo). Sự đồng dạng của hai tam giác cho tỉ số cạnh $\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB}$ . Nhân chéo hai vế ta thu được $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Hình học đường tròn là nền tảng của kỹ thuật xây dựng, hàng hải, quang học và thiên văn học. Các nhà khảo cổ và thợ cơ khí khôi phục bán kính của một bánh xe, đường ống hay đĩa gốm tròn bị vỡ chỉ từ một mảnh gốm nhỏ bằng cách đo dây cung cùng đường trung trực $OM \perp AB$ kết hợp với hệ thức Pythagore $R^2 = OM^2 + MA^2$ . Trước khi có GPS, các hoa tiêu ven biển dùng định lý góc nội tiếp $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ để lái tàu dọc theo cung tròn an toàn có góc nhìn không đổi giữa hai ngọn hải đăng (và dùng nửa đường tròn Thales $\angle ACB = 90^\circ$ để kiểm tra xem tàu có đi vào vòng tròn nguy hiểm quanh rạn san hô ngầm hay không). Trên Trái Đất hình cầu hoặc trong thông tin vệ tinh, công thức phương tích tiếp tuyến - cát tuyến $PT^2 = PA \cdot PB$ cho khoảng cách chính xác tới đường chân trời nhìn thấy được từ một tháp canh hoặc tàu vũ trụ ở độ cao cho trước.

Ví dụ: Tìm bề rộng mặt nước trong một đường ống tròn

Trong một đường ống dẫn nước có tiết diện tròn $(O, R)$ bán kính $R = 10$ cm, mặt nước phẳng tạo thành một dây cung nằm ngang $AB$ cách tâm một khoảng vuông góc $OM = 6$ cm. Tìm bề rộng chính xác của mặt nước.

Lời giải

Bước 1: chia đôi dây cung bằng đường vuông góc kẻ từ tâm. Vì đoạn thẳng nối từ tâm vuông góc với dây cung ( $OM \perp AB$ ), chân đường vuông góc chính là trung điểm của dây, nên $MA = MB$ .

Bước 2: áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $\triangle OMA$ . Vì cạnh huyền là bán kính và một cạnh góc vuông là khoảng cách tới tâm, nửa dây cung thỏa mãn $MA^2 = R^2 - OM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ .

Bước 3: nhân đôi nửa dây cung để tìm toàn bộ bề rộng. Lấy căn bậc hai được $MA = \sqrt{64} = 8$ cm, do đó toàn bộ bề rộng mặt nước là $AB = 2 \cdot MA = 2 \cdot 8 = 16$ cm.

Ví dụ: Dùng hai dây cung cắt nhau để tìm đoạn lối đi còn thiếu

Bên trong một quảng trường hình tròn, hai lối đi lát gạch thẳng tắp tạo thành hai dây cung $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $P$ . Người trắc địa đo được $PA = 4$ m, $PB = 9$ m và $PC = 6$ m. Tìm độ dài đoạn lối đi còn lại $PD$ .

Lời giải

Bước 1: viết phương trình hai dây cung cắt nhau. Theo định lý phương tích cho hai dây cung cắt nhau bên trong đường tròn, độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .

Bước 2: thay ba độ dài đã biết. Thay các giá trị đã cho vào phương trình được $4 \cdot 9 = 6 \cdot PD$ , rút gọn thành $36 = 6 \cdot PD$ .

Bước 3: giải tìm đoạn chưa biết. Chia cả hai vế cho hệ số được $PD = \dfrac{36}{6} = 6$ m.

Ghi chú lịch sử

Truyền thống Hy Lạp cổ đại ghi nhận Thales xứ Miletus (thế kỷ 6 TCN) là người đã chứng minh mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc vuông ( $\angle ACB = 90^\circ$ ). Khoảng năm 300 TCN, Euclid biên soạn toàn bộ lý thuyết cổ điển về đường tròn trong Quyển III bộ Cơ bản, bao gồm định lý góc nội tiếp tổng quát $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ (Mệnh đề 20) cùng các định lý dây cung cắt nhau và tiếp tuyến - cát tuyến $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ (Mệnh đề 35–36). Ít lâu sau, Archimedes đã chặn tỉ số giữa chu vi và đường kính của đường tròn bằng cách nội tiếp và ngoại tiếp các đa giác đều tới 96 cạnh, chứng minh được $3\dfrac{10}{71} < \pi < 3\dfrac{1}{7}$ .

Euclid xứ Alexandria Archimedes xứ Syracuse

Ba điểm $A$ , $B$ , $C$ nằm trên đường tròn tâm $O$ . Nếu góc ở tâm chắn cung $AB$ là $\angle AOB = 110^\circ$ , thì số đo góc nội tiếp $\angle ACB$ chắn cùng cung đó bằng bao nhiêu?

Trong một đường tròn có bán kính $R = 13$ cm, một dây cung có độ dài $AB = 24$ cm. Khoảng cách vuông góc $OM$ từ tâm $O$ tới dây cung đó bằng bao nhiêu?

Đoạn thẳng $AB$ là đường kính của một đường tròn, và $C$ là một điểm trên đường tròn sao cho $\angle CAB = 35^\circ$ . Số đo của góc $\angle ABC$ là bao nhiêu?

Từ một điểm $P$ nằm ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến $PT$ có độ dài $PT = 6$ cm và cát tuyến $PAB$ tới đường tròn, với $PA = 4$ cm. Khoảng cách $PB$ từ $P$ tới giao điểm xa hơn bằng bao nhiêu?

Tài liệu tham khảo

Euclid (trans. Thomas L. Heath) (1956). Euclid's Elements (Books I–XIII)
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited