Vinogradov chứng minh năm 1937, dùng phương pháp vòng tròn, rằng mọi số lẻ đủ lớn đều là tổng ba số nguyên tố — nhưng chứng minh của ông không cho một chặn tường minh nào cho 'đủ lớn'. Nhiều thập kỷ nghiên cứu đã làm cho ngưỡng trở nên hiệu quả rồi nhỏ dần: tới năm 2002, Liu và Wang đã đưa nó xuống cỡ $C\approx e^{3100}\approx 10^{1342}$, một con số lớn tới mức việc kiểm tra từng số lẻ nhỏ hơn bằng máy tính là bất khả thi về mặt vật lý (nhiều hơn số picô giây kể từ Vụ Nổ Lớn). Mục tiêu của Helfgott không phải chứng minh một phát biểu định tính mới — điều đó đã được giải quyết từ 1937 — mà là thu nhỏ ngưỡng $C$ đủ để tính toán trực tiếp có thể tiếp quản bên dưới nó, cuối cùng làm cho phát biểu đầy đủ đúng vô điều kiện với từng số lẻ $n>5$.