Gần một số hữu tỷ $a/q$, $S(\alpha)$ được chi phối bởi cách số nguyên tố phân bố trong các cấp số cộng mod $q$, điều này về cổ điển gắn với không điểm của hàm $L$ Dirichlet $L(s,\chi)$: càng ít không điểm gần đường $\mathrm{Re}(s)=1$, số nguyên tố càng phân bố đều và ước lượng cung chính càng sắc nét. Thay vì dựa vào miền không điểm cổ điển (cho hành vi định tính đúng nhưng giấu các hằng số lớn, bất khả thi), Helfgott dùng các bảng không điểm hàm $L$ đã được máy tính xác minh chặt chẽ (công trình của David Platt) để có các chặn tường minh hoàn toàn, vô điều kiện — không cần giả sử Giả thuyết Riemann tổng quát, dù GRH sẽ làm lập luận ngắn hơn.