Trên cung phụ, $S(\alpha)$ đáng lẽ hành xử như một tổng 'ngẫu nhiên' và do đó nhỏ, nhưng chứng minh điều này chặt chẽ với số mũ đủ mạnh là rào cản chính để hạ ngưỡng xuống dưới $10^{1300}$. Helfgott phát triển các chặn sắc hơn, 'không logarit' — nghĩa là chặn cho $S(\alpha)/n$ chỉ phụ thuộc vào $q$ (mẫu số của số hữu tỷ gần đó) mà không có thừa số $\log n$ dư thừa lọt vào từ cách phân rã thông thường của $\Lambda$ qua đẳng thức Vaughan, kết hợp với các bất đẳng thức kiểu sàng lớn và một kỹ thuật điều chỉnh từ sàng làm mịn Barban–Vehov–Graham. Các chặn sắc hơn này chính xác là điều cho phép sai số cung phụ đủ nhỏ với $n$ thấp tới $10^{27}$, thay vì cần $n$ lớn kiểu thiên văn.