Khép kín khoảng trống: giả thuyết Goldbach ba phần, vô điều kiện (Helfgott, 2013)

Bước 2 trên 5: Phương pháp vòng tròn: biến việc đếm thành một tích phân

Hiểu nôm na

Gán trọng số các số nguyên tố bằng hàm von Mangoldt $\Lambda$ , số cách viết $n=p_1+p_2+p_3$ chính xác bằng tích phân của $S(\alpha)^3 e(-n\alpha)$ trên đường tròn đơn vị, với $S(\alpha)=\sum_p\Lambda(p)e(\alpha p)$ là một tổng mũ 'phát hiện số nguyên tố'. Điều này biến lý thuyết số cộng tính thành giải tích điều hòa: chứng minh $R(n)>0$ quy về việc hiểu $S(\alpha)$ hành xử ra sao khi $\alpha$ chạy trên $[0,1)$ , tự nhiên chia thành nơi $S(\alpha)$ lớn và có cấu trúc (gần các số hữu tỷ mẫu số nhỏ — 'cung chính') và nơi nó phải nhỏ và về cơ bản ngẫu nhiên ('cung phụ').

R(n) = \sum_{p_1+p_2+p_3=n} \Lambda(p_1)\Lambda(p_2)\Lambda(p_3) = \int_0^1 S(\alpha)^3 e(-n\alpha)\,d\alpha,\qquad S(\alpha)=\sum_{p\le n}\Lambda(p)e(\alpha p)

Phân tích chi tiết

Đoạn đơn vị được chia thành cung chính $\mathfrak{M}$ (lân cận nhỏ của các số hữu tỷ $a/q$ với $q$ tới một ngưỡng nào đó) và cung phụ $\mathfrak{m}$ (mọi thứ còn lại). Chia $R(n)=\int_{\mathfrak{M}} + \int_{\mathfrak{m}}$ , chiến lược là chỉ ra tích phân cung chính cho một số hạng chính tường minh $\mathfrak{S}(n)\cdot n^2/2$ (một hằng số dương $\mathfrak{S}(n)$ , gọi là 'chuỗi kỳ dị', nhân với bậc độ lớn dự kiến), trong khi tích phân cung phụ là một số hạng sai số chứng minh được là nhỏ hơn — chính xác là hai bài toán được giải quyết ở hai bước tiếp theo.