12 年级

定积分

定积分度量连续变化量的有向累积——从曲线下的有向面积到旋转体的体积——并通过微积分基本定理与原函数紧密相连。

直观切得极薄，加得极多：度量曲边区域

如何求曲边区域的面积，或者在速度时刻变化时求总路程？初等几何只给出了矩形、三角形等直边图形的面积公式。积分的核心思想是切得极薄，加得极多：把 $y = f(x) \ge 0$ 在区间 $[a, b]$ 下方的区域切成 $n$ 个等宽 $\Delta x = (b - a)/n$ 的竖直窄条，再用平顶矩形代替每个窄条。当矩形较少较宽时，阶梯只是粗糙的近似；随着 $n$ 增大且 $\Delta x \to 0$ ，锯齿误差不断缩小，所有矩形面积之和便趋近于一个唯一确定的精确数值——定积分。

函数

y = x^2

在

[0, 2]

上的左端点矩形和（共

n

个窄条，宽度

\Delta x = 2/n

）。增大

n

可以看到阶梯面积逼近精确积分值

\int_0^2 x^2\,dx = 8/3 \approx 2.667

。

中学牛顿–莱布尼茨公式与有向面积

定义: 定积分（牛顿–莱布尼茨公式）

设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续， $F$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的任意一个原函数（即对所有 $x \in [a, b]$ 有 $F'(x) = f(x)$ ）。 $f$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分定义为差值 $F(b) - F(a)$ 。因为任意另一个原函数都形如 $G(x) = F(x) + C$ （ $C$ 为常数），相减时常数抵消： $G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$ ，所以定积分的值与所选取的原函数无关。

\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a), \qquad F'(x) = f(x)

为什么用原函数在两个端点的值相减就能算出矩形和的极限？考虑表示 $y = f(t)$ 从 $a$ 到 $x$ 下方区域面积的面积函数 $A(x)$ 。当 $x$ 增加微小量 $h$ 时，面积增加一条高约为 $\approx f(x)$ 、宽为 $h$ 的窄带，因此 $\Delta A = A(x+h) - A(x) \approx f(x)\,h$ 。两边除以 $h$ 并令 $h \to 0$ ，便得 $A'(x) = f(x)$ ：面积函数正是 $f$ 的一个原函数！由于 $A(a) = 0$ ，必有 $A(x) = F(x) - F(a)$ 。对于 $[0, 2]$ 上的 $f(x) = x^2$ ，取 $F(x) = x^3/3$ 立即得到 $\int_0^2 x^2\,dx = 2^3/3 - 0 = 8/3$ 。当 $f(x)$ 位于 $x$ 轴下方（ $f(x) < 0$ ）时，矩形高度为负，因此定积分计算的是有向面积（轴上方面积减去轴下方面积）：例如 $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = (-\cos 2\pi) - (-\cos 0) = 0$ ，因为 $[0, \pi]$ 上的正拱与 $[\pi, 2\pi]$ 上的负拱恰好相互抵消。

定积分的基本代数性质与区间性质
性质	公式	几何意义
常数倍	$\int_a^b k f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx$	高度缩放 $k$ 倍，有向面积也缩放 $k$ 倍
和与差的积分	$\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$	高度叠加对应各窄条面积相加减
区间可加性	$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$	在 $x = c$ 处把区域切成相邻两部分
等限与交换上下限	$\int_a^a f(x)\,dx = 0, \quad \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$	反向积分使 $\Delta x$ 变号

例题: 区间 $[0, 2]$ 上的有向积分与几何面积对比

对于区间 $[0, 2]$ 上的 $f(x) = x^2 - 1$ ，计算：(a) 定积分 $I = \int_0^2 (x^2 - 1)\,dx$ ；(b) 图像与 $x$ 轴所围区域的几何总面积 $S = \int_0^2 |x^2 - 1|\,dx$ 。

解答

(a) 取原函数 $F(x) = \frac{x^3}{3} - x$ ，由牛顿–莱布尼茨公式得 $I = \left(\frac{2^3}{3} - 2\right) - 0 = \frac{2}{3}$ 。(b) 在 $[0, 2]$ 上， $x^2 - 1 = 0$ 的根为 $x = 1$ ，且在 $[0, 1]$ 上 $x^2 - 1 \le 0$ ，在 $[1, 2]$ 上 $x^2 - 1 \ge 0$ 。在 $x = 1$ 处分段得 $S = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ 。

例题

可变力 $F(x) = 3x^2 + 2$ 牛顿作用于沿 $x$ 轴从 $x = 0$ m 移动到 $x = 3$ m 的物体。(a) 将所做的功写成定积分。(b) 计算精确值。(c) 求该位移上的平均力。

解答

第一步 — 建立积分。 可变力 $F(x) = 3x^2 + 2$ 做的功为 $W = \int_0^3 F(x)\,dx = \int_0^3 (3x^2 + 2)\,dx$ 。

第二步 — 用牛顿–莱布尼茨公式计算。 原函数为 $G(x) = x^3 + 2x$ 。应用公式： $W = G(3) - G(0) = (27 + 6) - 0 = 33$ J。

第三步 — 求平均力。 由积分中值定理， $[0,3]$ 上力的平均值为 $\bar{F} = \dfrac{W}{3-0} = \dfrac{33}{3} = 11$ N。这是在相同位移上做相同功的恒力——积分中值定理的直接应用。

大学黎曼可积性与微积分基本定理

定义: 分割、黎曼和与黎曼积分

区间 $[a, b]$ 的一个分割是指满足 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ 的有限序列 $P = (x_0, x_1, \dots, x_n)$ ，子区间长度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ ，分割的细度（模）为 $\|P\| = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i$ 。在每个子区间内任取样本点 $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ ，即构成黎曼和 $S(f, P, x^*) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x_i$ 。有界函数 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 称为黎曼可积且积分值为 $I = \int_a^b f(x)\,dx$ ，是指对任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得只要 $\|P\| < \delta$ ，无论样本点 $x_i^*$ 如何选取，都有 $|S(f, P, x^*) - I| < \varepsilon$ 。

定理: 微积分基本定理

设 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 连续。(1) 变上限积分函数 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $A'(x) = f(x)$ 。(2) 若 $F$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的任意一个原函数，则 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ 。

为什么成立?

累积面积 $A(x)$ 随 $x$ 增长的瞬时变化率，恰好等于曲线在移动右边界处的当前高度 $f(x)$ 。一旦得知 $A'(x) = f(x)$ ，任意原函数 $F$ 都具有相同的导数，故 $A(x)$ 与 $F(x)$ 仅相差一个常数。

证明

对 $h \neq 0$ ，由区间可加性有 $A(x+h) - A(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$ 。因 $\int_x^{x+h} 1\,dt = h$ ，可写成 $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} - f(x) = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} [f(t) - f(x)]\,dt$ 。由 $f$ 在 $x$ 处的连续性，对任意 $\varepsilon > 0$ 存在 $\delta > 0$ ，当 $|t - x| \le |h| < \delta$ 时有 $|f(t) - f(x)| < \varepsilon$ ，从而 $\left|\frac{A(x+h) - A(x)}{h} - f(x)\right| \le \varepsilon$ ，证得 $A'(x) = f(x)$ 。对于第 (2) 部分，在 $[a, b]$ 上 $(A - F)' = f - f = 0$ ，故 $A(x) - F(x) = C$ ；令 $x = a$ 得 $0 - F(a) = C$ ，再令 $x = b$ 即得 $A(b) = F(b) - F(a)$ 。

\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)

定理: 积分中值定理

若 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 连续，则至少存在一点 $c \in (a, b)$ 使得 $\int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b - a)$ 。等价地说，函数 $f$ 在某个内点 $c \in (a, b)$ 处取到其平均值 $\bar{f} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx$ 。

为什么成立?

对原函数 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 在 $[a, b]$ 上应用拉格朗日中值定理：存在 $c \in (a, b)$ 使得 $A(b) - A(a) = A'(c)(b - a) = f(c)(b - a)$ 。从几何上看，宽为 $b - a$ 、高为 $f(c)$ 的矩形与曲线 $y = f(x)$ 下方的曲边区域具有完全相同的有向面积。

证明

第一步 — 定义面积函数并应用 FTC。 令 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 。由 FTC， $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $A'(x) = f(x)$ 。

**第二步 — 对 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 应用拉格朗日中值定理。** 因 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 在 $[a,b]$ 连续且在 $(a,b)$ 可导，存在 $c \in (a,b)$ 使得 $A(b) - A(a) = A'(c)(b-a) = f(c)(b-a)$ 。由 $A(a) = 0$ 得 $\int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a)$ 。

**第三步 — 结论： $f$ 在某点取到其平均值。** 两边除以 $(b-a) > 0$ 得 $f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = \bar{f}$ 。由最值定理， $f$ 在 $[a,b]$ 取到最小值 $m$ 和最大值 $M$ ；因 $m \le \bar{f} \le M$ ，介值定理保证存在 $c \in (a,b)$ 使 $f$ 等于 $\bar{f}$ 。

进阶三维体积切片与超越黎曼积分

定理: 卡瓦列里原理与旋转体体积

若一立体夹在垂直于 $x$ 轴的两平面 $x = a$ 与 $x = b$ 之间，且在每个 $x \in [a, b]$ 处的横截面面积 $S(x)$ 可积，则该立体的体积为 $V = \int_a^b S(x)\,dx$ 。特别地，将区间 $[a, b]$ 上曲线 $y = f(x)$ 下方的平面区域绕 $x$ 轴旋转一周，所得横截面是半径为 $|f(x)|$ 、面积为 $S(x) = \pi [f(x)]^2$ 的圆盘，故体积为 $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$ 。

为什么成立?

将立体切成 $n$ 个厚度为 $\Delta x_i$ 的薄片；第 $i$ 片近似为底面积 $S(x_i^*)$ 、体积 $S(x_i^*)\,\Delta x_i$ 的柱体。对所有薄片求和即得黎曼和 $\sum_{i=1}^n S(x_i^*)\,\Delta x_i \to \int_a^b S(x)\,dx$ 。由于该积分仅取决于 $S(x)$ ，任何两个在每一高度处横截面面积都相等的立体必有相同的体积（卡瓦列里原理，1635年）。

证明

第一步 — 切成薄片。 将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个等宽 $\Delta x = (b-a)/n$ 的子区间。在第 $i$ 个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上，用底面积 $S(x_i^*)$ 、厚度 $\Delta x$ 的薄片近似，体积 $S(x_i^*)\,\Delta x$ 。

第二步 — 构造黎曼和并取极限。 对所有薄片求和： $V_n = \sum_{i=1}^n S(x_i^*)\,\Delta x$ 。由于 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，无论样本点 $x_i^*$ 如何选取，当 $n \to \infty$ 时均收敛： $V = \lim_{n\to\infty} V_n = \int_a^b S(x)\,dx$ 。

第三步 — 应用于旋转体并阐述卡瓦列里原理。 将 $y = f(x)$ 下方区域绕 $x$ 轴旋转，截面为半径 $|f(x)|$ 、面积 $S(x) = \pi[f(x)]^2$ 的圆盘。代入得 $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ 。卡瓦列里原理（1635年）：若两立体对所有 $x \in [a,b]$ 满足 $S_A(x) = S_B(x)$ ，则 $\int_a^b S_A(x)\,dx = \int_a^b S_B(x)\,dx$ ，即两者体积相同，与形状无关。

将

[0, 4]

上的

y = \sqrt{x}

绕

x

轴旋转生成的旋转体。每个

x

处的切片是半径为

\sqrt{x}

、面积为

\pi x

的圆盘，总体积为

V = \pi \int_0^4 x\,dx = 8\pi

。调节旋转角滑块或拖动画面可观察三维曲面。

当黎曼式的竖直切片不再够用时会发生什么？如果一个函数在稠密集合上处处跳跃——例如区间 $[0, 1]$ 上的狄利克雷示性函数 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ ，在有理数点取 $1$ 、无理数点取 $0$ ——那么每个子区间都同时包含有理数和无理数，使得黎曼上和恒为 $1$ 、下和恒为 $0$ ，黎曼积分不存在。1902年，亨利·勒贝格通过改对值域（ $y$ 的取值）而非定义域 $x$ 进行切片，并度量满足 $f(x) \approx y$ 的点 $x$ 的集合之大小，成功解决了这一难题（见[测度论与勒贝格积分](/ly-thuyet-do-do)）：由于 $\mathbb{Q}$ 可数、勒贝格测度为 $0$ ，故 $\int_{[0,1]} \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,d\mu = 0$ ，并且强大的收敛定理允许将极限号移入积分号内（ $\lim \int f_n = \int \lim f_n$ ）。在高维空间（[重积分](/tich-phan-boi)）中，曲线、曲面与流形上的积分由微分形式和广义斯托克斯定理 $\int_{\partial \Omega} \omega = \int_\Omega d\omega$ 统一起来，而牛顿–莱布尼茨公式 $\int_a^b dF = F(b) - F(a)$ 正是它的一维特例。

研究现代研究前沿中的积分

研究前沿截至 2026 年

截至2026年，三个活跃的研究方向正将积分推向远超经典微积分的疆域：(1) 高维数值积分与拟蒙特卡罗方法（QMC）。 在统计物理、金融数学与贝叶斯机器学习中，人们需要计算数百乃至数千维（ $d \gg 100$ ）的积分 $\int_{[0,1]^d} f(x)\,dx$ 。经典网格求积需要 $N^d$ 次函数求值（维数灾难），而随机化 QMC 方法与高阶数字网（Owen、Dick、Pillichshammer）在加权 Sobolev 空间中实现了几乎不依赖于维数的 $O(N^{-\alpha})$ 误差收敛阶。(2) 粗糙路径与奇异随机积分。 当计算由极不规则信号 $X_t$ （如 Hurst 指数 $H \le 1/2$ 的分数布朗运动）驱动的积分 $\int_0^T Y_t\,dX_t$ 时，黎曼–斯蒂尔杰斯和会发散；Terry Lyons 的粗糙路径理论（1998年）与 Martin Hairer 的正则性结构理论（2014年菲尔兹奖，在奇异随机偏微分方程与量子场论中持续推进至2026年）通过用迭代积分扩充路径，重建了适定的积分理论。(3) 测度论的形式化与符号积分。 继 Robert Risch（1969–1970年）给出初等原函数判定算法之后，以 Lean 4 的 `mathlib` 库（2020–2026年）为代表的交互式定理证明器已完整形式化了 Bochner 积分、Haar 测度与微积分基本定理，使现代分析与概率论的机器验证证明成为现实。

根据牛顿–莱布尼茨公式， $\int_0^2 x^2\,dx$ 的值等于多少？

为什么尽管曲线 $y = \sin x$ 与 $x$ 轴围成的几何面积不为零，定积分 $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$ 却等于零？

设当 $x > 0$ 时 $A(x) = \int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt$ 。根据微积分基本定理， $A'(2)$ 等于多少？

将区间 $[0, 4]$ 上曲线 $y = \sqrt{x}$ 下方的区域绕 $x$ 轴旋转一周得到旋转体，其体积 $V$ 是多少？

参考文献

Michael Spivak (2008). Calculus
James Stewart (2015). Calculus: Early Transcendentals
Bernhard Riemann (1868). Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe
Carl B. Boyer (1959). The History of the Calculus and Its Conceptual Development