解法：卡恩与卡莱利用弗兰克尔–威尔逊定理反驳博苏克猜想

把一个 $(0,1)$ 向量 $x \in \{0,1\}^n$ 等同于 $x$ 取值为 $1$ 的坐标构成的集合 $A \subset \{1,\ldots,n\}$。若两个这样的向量 $x, y$ 都恰好有 $k$ 个1(对应大小为 $k$ 的集合 $A, B$),则 $\|x-y\|_2^2 = 2(k - |A\cap B|)$:距离的平方随着重叠部分 $|A \cap B|$ 增大而恰好缩小,并且恰在 $|A \cap B|$ 尽可能小时取最大值。因此在 $\{1,\ldots,n\}$ 的所有 $k$-子集中,处于最大(达到直径的)距离的那些对,正是交集最小的那些对。

拉尔曼注意到,把博苏克猜想限制在权重恒定的 $(0,1)$ 向量的有限集合上,就归约为一个简洁的组合命题:若 $\mathcal{K}$ 是 $\{1,\ldots,n\}$ 的一族 $k$-子集,使得任意两个成员恰好共享 $t$ 个元素(于是 $\mathcal K$ 只有一种非平凡的两两距离,达到直径),那么能否总能把 $\mathcal K$ 划分成 $n$ 部分,使得每一部分内任意两个成员共享至少 $t+1$ 个元素(即处于严格更小的距离)?对这个纯粹有限性问题的一个反例——一族可证明需要远多于 $n$ 部分的 $\mathcal K$——正是卡恩与卡莱接下来所构造的,而且他们甚至不需要以最简洁形式给出的定交集假设。