解法：卡恩与卡莱利用弗兰克尔–威尔逊定理反驳博苏克猜想

第 6/7 步：显式反例:从

n = 1{,}325

降到

n = 63

上一步下一步

通俗地说

上面的论证只保证在 $d$ 达到天文数字般大小时才存在反例;要把它变成一个具体的、可核验的维数,需要实际选取使算术能够行得通的最小素数幂 $k$ 。大门一旦打开,其他数学家在此后的数十年里不断寻找更巧妙的、手工构造或经计算机验证的构型,把博苏克猜想失效的维数一路压低到足够小、可以明确写出来的程度。

n = 1325 \;(\text{Kahn–Kalai}), \quad n = 65\;(\text{Bondarenko}), \quad n = 64\;(\text{Jenrich–Brouwer}), \quad n=63\;(\text{Ji})

详细分析

卡恩与卡莱1993年的原始论证仅对 $n = 1{,}325$ (以及所有 $n > 2{,}014$ )给出显式反例。此后的构造不断降低维数:安德烈·V·邦达连科(2013)利用由强正则图构造的双距离集合,在 $\mathbb{R}^{65}$ 中找到反例;托马斯·延里希与安德里斯·E·布劳威尔(2014)在 $\mathbb{R}^{64}$ 中找到一个经过严格验证的 $352$ 点反例;而季一博(Yibo Ji)2026年的预印本验证了 $\mathbb{R}^{63}$ 中一个由AI生成、尚未经同行评审的 $321$ 点反例。

本步骤用到的知识

凸几何与离散几何