解法：格拉德科夫–帕克–齐明给出的上下铺猜想显式反例(2024年)

超图通过允许超边包含任意数目的顶点(而不仅仅是两个)来推广图的概念;一个 $3$-一致超图的每条超边大小恰好为 $3$。劳伦斯·霍勒姆(2024年)研究了替代式上下铺超图渗流模型:在该模型中,底层超图 $H$ 中的每条超边 $e$,要么保留自身、同时删除顶层对应的副本 $e'$,要么反过来,两种情形各以概率 $\tfrac12$ 发生,且不同超边之间相互独立——这是普通上下铺渗流的一个自然超图类比。

霍勒姆给出了一个具体的 $3$-一致超图 $H$,有 $10$ 个顶点和 $6$ 条超边,横截集合为 $T = \{u_2, u_7, u_9\}$,并精确计算出 $\Pr^{\text{alt}}[u_1 \leftrightarrow u_{10}'] = \tfrac{13}{64}$,而 $\Pr^{\text{alt}}[u_1 \leftrightarrow u_{10}] = \tfrac{12}{64}$——这是对超图版上下铺不等式的一次违反,其精确分数足够小,可以通过直接枚举六条超边等可能出现的 $2^6 = 64$ 种情形来验证(Gladkov, Pak & Zimin 2024年,引理3.1,引用了 Hollom 2024年的结果)。

由于带有 $3$ 元超边的超图渗流并不是字面意义上普通图上的键渗流,霍勒姆的结果是针对上下铺猜想某个自然推广的反例,而非针对该猜想本身的反例。但它精确地分离出了这种组合机制——一种集中在若干“$3$ 分支”相互作用的顶点处的失衡——这份证明接下来的部分将把它改造后应用到普通图上。