解法：格拉德科夫–帕克–齐明给出的上下铺猜想显式反例(2024年)

格拉德科夫、帕克与齐明的稳健超边引理(2024年,引理3.2)断言:如果一条超边(或一个模拟超边的小零件)在 WZ 模型下的五个概率——连同从小零件构造中继承而来的自然对称性 $p_{ab|c} = p_{ac|b}$——满足不等式 $400\, p_{a|bc} \le p_{abc}\, p_{a|b|c} - p_{ab|c}^2$,那么把这样的小零件替换进霍勒姆超图 $H$ 的超边中,仍然会得到 $\Pr^{\text{wz}}[u_1 \leftrightarrow u_{10}] < \Pr^{\text{wz}}[u_1 \leftrightarrow u_{10}']$,正是反驳上下铺猜想所需要的反向不等式。

右边的 $p_{abc}\, p_{a|b|c} - p_{ab|c}^2$ 自动非负,这是把 Harris–Kleitman 不等式应用到这一情形的推论(Gladkov 2024年),因此这条引理确实是一个稳健性陈述:它容许一个受控但非零的泄漏 $p_{a|bc} > 0$,而不是要求不可能实现的 $p_{a|bc} = 0$。证明本身通过一个组合对合来完成:把整个渗流过程的各种构型两两配对,使得偏向“错误”连通性(同层)的构型总能配上一个偏向“正确”连通性(跨层)、概率至少相当的伙伴构型,具体做法是对一条穿过超图的固定参照路径如何与每条超边的结果相互作用进行情形分析。

有了这条引理,剩下唯一的任务就是给出一个真正的图小零件,使其五个概率满足所需的不等式——这正是下一步要构造的内容。