解法：格拉德科夫–帕克–齐明给出的上下铺猜想显式反例(2024年)

取第2步中霍勒姆的超图 $H$,对它的六条 $3$-一致超边 $\{a,b,c\}$ 中的每一条,都替换成第5步路径小零件 $G_n$(取 $n = 1204$)的一份新副本,把小零件的 $a$ 与该超边的横截顶点等同起来,把 $b, c$ 与另外两个顶点等同起来(Gladkov, Pak & Zimin 2024年,第4.2节)。所得到的图 $G$ 是平面图(因为 $H$ 本身画成平面图且 $G_n$ 是平面图),拥有 $|V(G)| = 10 + 6 \times 1202 = 7{,}222$ 个顶点与 $|E(G)| = 6 \times 2407 = 14{,}442$ 条边,并保留了与霍勒姆超图相同的三个横截顶点 $T = \{u_2, u_7, u_9\}$。

根据第5步已验证 $G_n$ 的各概率满足稳健超边引理的不等式,再结合第4步的引理本身,$G$ 上普通的 $\tfrac12$ 键渗流满足 $\Pr[u_1 \leftrightarrow u_{10}] < \Pr[u_1 \leftrightarrow u_{10}']$——这正是 Gladkov, Pak & Zimin(2024年)的定理1.2:存在一个具有 $7{,}222$ 个顶点与 $14{,}442$ 条边的连通平面图、一个大小为 $3$ 的横截集合,以及两个顶点 $u, v$,使得 $\Pr^{\text{bb}}_{1/2}[u \leftrightarrow v] < \Pr^{\text{bb}}_{1/2}[u \leftrightarrow v']$——这是一个显式的、完全构造性的上下铺猜想反例。值得注意的是,这一论证是通过前面几步逐层建立起来的引理链、以解析方式确立这个不等式的,而不是靠对整个图上渗流结果的暴力计算机搜索(那样的搜索规模过于庞大,根本无法枚举)。

作者们指出,三个横截顶点在可证明的意义上是任何反例所需的最少数目(更少就不可能奏效,这是由横截顶点为一个或两个时该猜想已知成立所决定的——见最后一步),但总顶点数 $7{,}222$ 极不可能是最优的;更小的反例几乎肯定存在,只是这并非本构造的目标。