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庞加莱猜想

已解决，2003年拓扑学几何学千禧年
问题陈述

每一个单连通的闭 33 维流形都同胚于 33 维球面 S3S^3。等价地说，若 MM 是无边界的紧致 33 维拓扑流形，且其基本群 π1(M)\pi_1(M) 平凡，则 M≅S3M \cong S^3。

2002年11月至2003年7月间，格里戈里·佩雷尔曼在arXiv上发布了三篇简练的预印本（`math/0211159`、`math/0303109`、`math/0307245`），通过引入单调熵泛函、局部不塌缩定理、跨过颈部奇点的受控手术程序以及不含非球面素因子的流形的有限熄灭时间，完成了理查德·汉密尔顿的里奇流纲领。这一工作完整证明了威廉·瑟斯顿关于闭 33 维流形的几何化猜想，并将庞加莱猜想作为特例包含其中。在三个独立团队（布鲁斯·克莱纳与约翰·洛特、约翰·摩根与田刚、曹怀东与朱熹平）撰写出详尽专著确认证明完整无误后，佩雷尔曼于2006年8月获颁菲尔兹奖，又于2010年3月获授100万美元的克雷千禧年大奖——但他拒绝了这两项殊荣，并在谈及千禧年大奖时表示，自己在解决该猜想上的贡献并不比汉密尔顿更大。

提出者, 1904亨利·庞加莱解决者, 2003格里戈里·佩雷尔曼

在三维情形下，拓扑、分段线性与光滑三个范畴彼此等价（由埃德温·莫伊斯和让·塞尔夫的定理保证），因此佩雷尔曼的光滑证明一举解决了 S3S^3 的全部三种表述。然而在高维情形中，拓扑问题与光滑问题大相径庭：约翰·米尔诺于1956年发现了怪 77 维球面——同胚于 S7S^7 却不同胚微分的怪异光滑流形；尽管拓扑庞加莱猜想对所有维数 n≥1n \ge 1 均已成立，四维光滑庞加莱猜想（每个光滑 44 维流形只要与 S4S^4 同胚是否必与 S4S^4 微分同胚）仍是几何拓扑学中最重大的开放问题之一。

参考文献

  1. Grisha Perelman (2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications · arXiv:math/0211159v1 [预印本,未经同行评审]
  2. Grisha Perelman (2003). Ricci flow with surgery on three-manifolds · arXiv:math/0303109v1 [预印本,未经同行评审]
  3. Grisha Perelman (2003). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds · arXiv:math/0307245v1 [预印本,未经同行评审]
  4. John Morgan, Gang Tian (2007). Ricci Flow and the Poincaré Conjecture