庞加莱猜想

每一个单连通的闭 $3$ 维流形都同胚于 $3$ 维球面 $S^3$。等价地说，若 $M$ 是无边界的紧致 $3$ 维拓扑流形，且其基本群 $\pi_1(M)$ 平凡，则 $M \cong S^3$。

2002年11月至2003年7月间，格里戈里·佩雷尔曼在arXiv上发布了三篇简练的预印本（`math/0211159`、`math/0303109`、`math/0307245`），通过引入单调熵泛函、局部不塌缩定理、跨过颈部奇点的受控手术程序以及不含非球面素因子的流形的有限熄灭时间，完成了理查德·汉密尔顿的里奇流纲领。这一工作完整证明了威廉·瑟斯顿关于闭 $3$ 维流形的几何化猜想，并将庞加莱猜想作为特例包含其中。在三个独立团队（布鲁斯·克莱纳与约翰·洛特、约翰·摩根与田刚、曹怀东与朱熹平）撰写出详尽专著确认证明完整无误后，佩雷尔曼于2006年8月获颁菲尔兹奖，又于2010年3月获授100万美元的克雷千禧年大奖——但他拒绝了这两项殊荣，并在谈及千禧年大奖时表示，自己在解决该猜想上的贡献并不比汉密尔顿更大。