解法：林德曼证明 $\pi$ 的超越性解决化圆为方问题(1882年)

第 3/6 步：用欧拉恒等式布置矛盾

通俗地说

为了证明 $\pi$ 是超越数,林德曼使用了反证法这一经典手法:假设相反,即 $\pi$ 是代数数,再由此导出荒谬的结论。欧拉的著名恒等式 $e^{i\pi}+1=0$ 正是实现这一点的完美杠杆,因为它把 $\pi$ 直接与 $e$ 的一个幂联系起来。

如果 $\pi$ 是代数数,把它乘以代数数 $i=\sqrt{-1}$ 会得到另一个代数数 $i\pi$ 。欧拉恒等式接着说, $e$ 的这个代数指数 $i\pi$ 次幂等于 $-1$ ——本身也是代数数。但经过适当推广的埃尔米特方法表明,这种情况绝不可能发生。

e^{i\pi} + 1 = 0

详细分析

用反证法假设 $\pi$ 是代数数。由于 $i=\sqrt{-1}$ 是 $x^2+1=0$ 的根,是代数数,而两个代数数的乘积仍是代数数(它们在 $\mathbb{Q}$ 上生成的复合域扩张是有限的),所以在此假设下 $i\pi$ 将是一个非零代数数。

欧拉恒等式 $e^{i\pi}+1=0$ ,即 $e^{i\pi}=-1$ ,是复分析中的一个定理,无论 $\pi$ 究竟是什么都无条件成立:它源自 $e^x$ 、 $\cos x$ 、 $\sin x$ 的幂级数定义,给出 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ,从而 $e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$ 。结合" $\pi$ 是代数数"这一假设,这将意味着对非零代数数 $\alpha=i\pi$ 有 $e^\alpha=-1$ ,而 $-1$ 本身是代数数( $x+1=0$ 的根)。

于是"π是代数数"这一假设,迫使产生一个非常具体的后果:某个非零代数数 $\alpha$ (即 $i\pi$ )使得 $e^\alpha$ 是代数数。下一步将说明,这个后果正是林德曼所证明的不可能之事,从而闭合了这个矛盾。