解法：林德曼证明 $\pi$ 的超越性解决化圆为方问题(1882年)

林德曼1882年的论文《论数 $\pi$》证明了:对每个非零代数数 $\alpha$,值 $e^\alpha$ 都是超越数。这把埃尔米特1873年的结果($\alpha=1$ 的情形,给出 $e=e^1$ 超越)推广到了任意代数指数,包括复数指数。

这个证明改造了埃尔米特的辅助积分构造,但埃尔米特处理的是单一整数 $\alpha=1$,而林德曼必须同时处理 $\alpha$ 及其所有代数共轭(即 $\alpha$ 的极小多项式的其他根),把辅助积分在整个共轭集合上相乘,以保证最终估计中出现的对称函数组合一定是有理数——这是一个复杂得多的记账问题,林德曼利用初等对称多项式,以及与埃尔米特论证相同的双向估计(被迫是非零整数,对立于被迫任意小)解决了它。

把这个定理应用于 $\alpha=i\pi$(在第3步中被假设为非零且是代数数),立刻得到 $e^{i\pi}$ 必须是超越数。但第3步也表明 $e^{i\pi}=-1$,而这是代数数——直接矛盾。唯一的出路是假设本身是错误的:$\pi$ 不是代数数,即 $\pi$ 是超越数(Lindemann 1882)。