解法：林德曼证明 $\pi$ 的超越性解决化圆为方问题(1882年)

这个经典问题在希腊数学中至少可追溯到公元前5世纪,要求仅用尺规作出一个与给定圆面积相等的正方形。取圆的半径为 $1$(面积为 $\pi$),所需正方形的边长 $s$ 满足 $s^2=\pi$,即 $s=\sqrt{\pi}$。

由旺泽尔1837年的定理(用于解决三等分角和倍立方问题),每个尺规可作图的实数都位于 $\mathbb{Q}$ 上一座二次扩张塔的顶端,特别地是代数数——即满足某个非零有理系数多项式的根。因此化圆为方只有在 $\sqrt{\pi}$ 是代数数时才可能。由于代数数的平方仍是代数数,反之亦然(代数数 $\alpha$ 满足某多项式 $P$,而 $\alpha^2$ 满足由 $P$ 构造出的相关多项式),$\sqrt{\pi}$ 是代数数当且仅当 $\pi$ 是代数数。

于是几何问题就完全归结为关于一个特定实数的问题:$\pi$ 是代数数,还是超越数(根本不满足任何有理系数多项式方程)?费迪南德·冯·林德曼在1882年回答了这个问题,他推广了查尔斯·埃尔米特九年前用于处理 $e$ 的方法。