解法：林德曼证明 $\pi$ 的超越性解决化圆为方问题(1882年)

埃尔米特1873年的论文《论指数函数》证明了 $e$ 是超越数:不存在非零整数 $a_0,\ldots,a_n$ 满足 $a_0+a_1e+a_2e^2+\cdots+a_ne^n=0$。该方法构造了一个高次的辅助多项式 $f(x)$(以一个大素数 $p$ 为参数构造),并研究对 $k=0,1,\ldots,n$ 的量 $J_k=\int_0^k e^{k-x}f(x)\,dx$;反复分部积分把每个 $J_k$ 变成一个涉及 $e^k$ 以及 $f$ 在 $0$ 与 $k$ 处各阶导数的和。

组合 $a_0J_0+a_1J_1+\cdots+a_nJ_n$ 可以由构造本身证明,若假设的关于 $e$ 各次幂的关系成立,它就必须等于一个不被所选大素数 $p$ 整除的非零整数(因而必定非零)。但对积分的另一番估计表明,同一个组合的绝对值随 $p\to\infty$ 趋于 $0$。一个非零整数不可能拥有任意小的绝对值,所以假设的关系不可能存在:$e$ 是超越数。

这一证明提供了一个范本——辅助积分,整数与微小估计之间的矛盾——费迪南德·冯·林德曼九年后对其加以改造,用来处理的不只是 $e$ 本身,而是任意非零代数数 $\alpha$ 对应的 $e^\alpha$,这正是解决 $\pi$ 问题所需要的关键推广。