大问题

20世纪

1. 1935
   圆满结局问题（埃尔德什–塞克雷什）组合数学与离散数学, 几何学. 平面上处于一般位置的多少个点才能保证存在一个凸 $n$ 边形？该问题由埃丝特·克莱因于1933年针对 $n = 4$ 提出，并促成了她与乔治·塞克雷什的婚姻，因而被保罗·埃尔德什戏称为“圆满结局问题”。猜想的精确公式 $\mathrm{ES}(n) = 2^{n-2} + 1$ 目前仅对 $n \le 6$ 获证，但安德鲁·苏克于2016年证明了渐近结果 $\mathrm{ES}(n) = 2^{n + o(n)}$。埃尔德什未解决
2. 1941
   关于加性基的埃尔德什–图兰猜想算术与数论, 组合数学与离散数学. 如果一个自然数集通过两两之和最终覆盖所有大整数（即构成 $2$ 阶渐近基），是否必然存在某些整数具有任意多种写成两个元素之和的表示方式？保罗·埃尔德什与帕尔·图兰于1941年提出的这一猜想 $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) = \infty$ 至今悬而未决。埃尔德什未解决
3. 1946
   埃尔德什单位距离问题几何学, 组合数学与离散数学. 平面上 $n$ 个点中最多有多少对点的距离为 $1$？其上界为 $O(n^{4/3})$，而2026年的一项代数数论构造证明了 $u(n) = \Omega(n^{1+c})$，从而推翻了埃尔德什的 $n^{1+o(1)}$ 猜想。埃尔德什未解决
4. 1948
   埃尔德什–施特劳斯猜想算术与数论. 这一埃及分数猜想由保罗·埃尔德什与恩斯特·G·施特劳斯于1948年提出,询问 $4/n$ 是否总能写成三个正整数的倒数之和。由于因子 $d \mid n$ 的分解可通过缩放给出 $n$ 的分解,因此只需对素数 $n = p$ 证明即可。简单的代数恒等式即可涵盖满足 $p \not\equiv 1 \pmod{24}$ 的素数,更大的模覆盖系统排除了绝大多数剩余类,使计算机验证推进到 $n = 10^{17}$,但由有限个恒等式构成的完全覆盖系统不可能存在。埃尔德什未解决
5. 1960
   埃尔德什–拉多向日葵猜想组合数学与离散数学. 不含两两交集完全相同的 $r$ 个集合（向日葵）的 $w$ 元集族最大能有多大？保罗·埃尔德什与理查德·拉多于1960年给出了阶乘界 $w! (r - 1)^w$ 并提出该猜想；2019年阿尔韦斯、洛维特、吴克文与张家鹏取得了里程碑式突破（后精化为 $(C r \log w)^w$），但纯指数上界 $C_r^w$ 仍悬而未决。埃尔德什未解决
6. 1973
   关于等差数列的埃尔德什猜想算术与数论, 组合数学与离散数学. 若倒数和满足 $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$，$A$ 是否必然包含任意长度的等差数列？$k = 3$ 的情形已由托马斯·布卢姆和奥洛夫·西萨斯克（2020）证明，而 $k \ge 4$ 的所有情形仍悬而未决。埃尔德什未解决
7. 1977
   埃尔德什–哈伊纳尔猜想组合数学与离散数学. 一般 $n$ 顶点图仅能保证含有对数规模 $\Theta(\log n)$ 的团或独立集，而保罗·埃尔德什与安德拉什·哈伊纳尔于1977年猜想：只要禁止任意固定的诱导子图 $H$，就会迫使图中出现多项式规模 $n^{\delta_H}$ 的团或独立集。埃尔德什未解决